2022年上海某中学自主招生数学试卷

2022年上海中学自主招生数学试卷

一、填空题

1.(3分)如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上

2.(3分)下面图1、2、3可分别用于说明—.

(A、“勾股定理”；3、“平方差公式”：C、“完全平方公式”；将A、B、C按对应顺序

3.(3分)使得16000.仁)"的值是一个正整数的整数”一共有一个.

4.(3分)设动直线x=f与函数y=f(x)的图象交于点P(f,/⑴)，与函数y=g(x)的图象

交于点g(/)),当展小翅寸，总有PQ,1恒成立，则称函数f(x)与g(x)在战!kh上是

“逼近函数”，则下列结论:

①函数y=-色与丫=色在—啜k1上是“逼近函数

'2•2

②函数y=5x与y=x?+5在3勉k4上是“逼近函数”；

③函数y=f-l与y=2/-x在魄》1上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是—.

5.(3分)如果方程+(10+A)x-2Z=0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，

则实数无=.

6.(3分)如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴

影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为

7.(3分)如图，在平面直角坐标系中，A(-6,0)、B(-2,2),动点P在直线y=—x上，动

点。在x轴上，则AP+PQ+Q3的最小值为.

8.(3分)设玉，x2,x3,%0G是整数，且满足下列条件：

①-掇必2,i=l,2,3,....100；

(2)X]+x)+七+,■•+与oo=20；

2

③占2+考+X；+…+xjno=100,则X；+E+石+…+M0ft的最小值和最大值的和为.

9.(3分)如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点力爬行到点8,标记有箭头的

边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有种不同的爬行

二、解答题

10.斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由.

11.有一矩形纸片ABC。，AB=a,BC=b,将矩形ABC。沿对角线AC对折后放于桌面

上，探究其覆盖桌面的面积.

12.我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量&和5,且存在唯一实数九，

使得万=焉，记作/团，拉=2,如图，已知A、B、C、。为同一直线上顺次四点.

⑴若f（而,DB）=-2,则f（而,AD）=

⑵若您自啰=7,则称A、B、C、O为调和点列，请探究此时A3、AC、AD这

f(AD,DB)

三条线段的长度满足的关系，并证明.

~ACBD~

2022年上海中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1.(3分)如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上

的汉字是迎

【分析】正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，据此作答.

【解答】解：由图可知，与“上”字所在面相对的面上的汉字是“迎”，

故答案为：迎.

2.(3分)下面图1、2、3可分别用于说明

(A、“勾股定理”；3、“平方差公式”；C、“完全平方公式”；将A、B、C按对应顺序

【分析】根据勾股定理、完全平方公式、平方差公式解决此题.

【解答】解：由图1得,(«+b)2=a2+b2+2ab,那么可说明C完全平方公式.

由图2得，设大正方形的边长为c,则2必+(a-b)2=c2,即/+匕2=°2,那么可说明A勾

股定理.

由图3得，(a+b)(a-b)=a2-b2,那么可说明3平方差公式.

故答案为：C、A、B.

3.(3分)使得16000.(|)"的值是一个正整数的整数〃一共有4个.

【分析】因为16000=5、x128,根据16000.(7"的值是一个正整数，则〃可以取0,1,2,3.

【解答】解：原式=53xl28x2.

5〃

•.•16000.(])"的值是一个正整数，

可以取0,1,2,3,

•••”一共有4个.

故答案为：4.

4.(3分)设动直线x=「与函数y=/(x)的图象交于点P(f,与函数y=g(x)的图象

交于点Qa,g(f)),当成11b时，总有PQ,,1恒成立，则称函数f(x)与g(x)在战火b上是

“逼近函数”，则下列结论：

①函数y=-2与y=f在-1致k1上是“逼近函数”；

22

②函数y=5x与y=f+5在琛上4上是“逼近函数”；

③函数y=V-l与y=2V—x在怎/1上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是①

@(§).

【分析】由“逼近函数”定义逐项判断即可.

【解答】解：由“逼近函数”定义知在源!kb上，"(x)-g(x)|,,l时,函数f(x)与g(x)在

战乱6上是“逼近函数”，

AXX

令y=----------=一工,

122

当-啜上1时,弘最大为1,必最小为-1,

••・函数)=-楙与y=5在-掇/1上是“逼近函数”，①正确;

在3领k4上，当x=4时，%最大为1，当x=3时，％最小为一1，

二.函数y=5x与y=f+5在3领k4上是“逼近函数”，②正确；

13

222

令y3=2x-x-(x-1)=^-x+l=(x--)+—,

ia

在原k1上，当x=0和x=l时，出取最大值1，%时，％取最小值为:，③正确;

故答案为：①②③.

5.(3分)如果方程V-7/+(10+幻工-24=0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，

则实数k=6或纪.

4-

【分析】先确定x=2是方程的一个根，再由Y—5x+Z=0有两个相等的根或Y—5x+Z=0

有一个根是2,分别求解％的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可.

【解答】解:由题意可知炉-7/+(10+&)*-2&=0有两个相等的根，

•.•当x=2时，x3-lx2+(\0+k)x-2k=0,

x3-7x2+(10+-2无=(x-2)(x2-5x+k),

•.•方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，

.•.》2一5》+々=0有两个相等的根或丁—5%+么=0有一个根是2,

当V-5x+/=0有两个相等的根时，△=25-4%=0,

解得A="，

4

此时方程的根为x=9,

2

三角形的三条边长分别为2,-；

22

当x2-5x+%=0有一个根是2时，k=6,

此时方程的根为x=2或x=3,

，三角形的三条边长分别为2,2,3；

综上所述：k的值为6或生，

4

故答案为：6或4.

4

6.(3分)如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴

影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为22土盛灯.

-3-

【分析】如图，为BC边的高，利用两圆相切的性质得到AB=AC=8C=8,则可判断

A48C为等边三角形，则C〃=4,利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC=晅

3

再利用圆与圆相切的性质得到0。的半径。"=℃+以=苧+|’然后用大圆的面积减去

15个小圆的面积得到阴影部分的面积.

【解答】解：如图，O”为8C边的高,

•.•所有小圆相切,

:.AB=AC=BC=8,

.•.AAfiC为等边三角形,

.-.ZOCB=30o

.OHme,

.\CH=4,

:.OH=—CH=—

33

OC=2OH=—

39

•••（DC与oo相切,

.•・OO的半径OE=OC+CE=^+1,

,阴影部分的面积=7x（号，+1）2-15xzrxl2=22+：百万.

故答案为：号3.

7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，4-6,0）、8（-2,2）,动点P在直线y=-x上，动

点。在x轴上，贝IAP+PQ+Q8的最小值为_3夜+后一

【分析】作3点关于x轴的对称点6,作于P,连接即交x轴于点。，由垂线段

最短以及两点之间线段最短可知此时AP+PQ+Q3最短.

【解答】解：作5点关于x轴的对称点长，作于尸，连接即交x轴于点。，此时

PQ+BQ=PB',

.,.点B的坐标为(-2,2).

由直线y=—x可知NAOP=45。，

.•.AAOP是等腰直角三角形，

,,,A(-6,0),

AP=火。.遮x6=3&,P(-3,3),

22

PB'=J(-3+2)2+(3+2)2=病，

AP+PQ+QB=3y/2+>j26.

故答案为：3x/2+726.

8.(3分)设n，3,x3,x1co是整数，且满足下列条件:

①—掇k2,z=1>2,3,...,100；

②%+9+F+...+X0G=20；

③x：+¥+与+…+4）=100,则x：+£+W+…+工3的最小值和最大值的和为160.

【分析】由题意可设玉，x2,不，…，Moo中有。个一1，b个0，c个1，d个2,再由已

知列关于a,b,c,d的方程组，把a,b,c用d表示，求出d的范围，即可求解

d+石+X；+…+X：x）的最小值和最大值的和.

【解答】解：由题意可设X1,工2,尤3，…，方00中有。个一1，6个0,。个1,d个2,

则a+Z?+c+d=100,—a+c+2J=20,a+c+4d=100,

可得。=40-4,b=3d,c=60-3d,

+x；+...+=—ct+c+8d=20+6d,

J..0

40-d0

由，解得：姗20,

3d..O

60-3J..0

，当d=0时，x：+石+x；+…0a的最小值为20,

当d=20时，d+云+X；+…+M0G的最大值为140.

二.片+。+4+...+匕）o的最小值和最大值的和为160.

故答案为：160.

9.（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点3,标记有箭头的

边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有64种不同的爬行路

径.

【分析】如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五

步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即

可求出爬行路径种数.

【解答】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五

步的路径种数，

第一步：2；

第二步：2；

第三步：4；

第四步：2；

第五步：2；

2X2X4X2X2=64,

二则共有64种不同的爬行路径.

故答案为：64.

二、解答题

10.斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由.

【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可.

【解答】解：全等，理由如下：

证明：设点O,O,分别为49的中点，则CO=C(7,

•.•8_143于£),C'£)'_LA'E于。'，

.-.ZCDB=ZC'iyB'=90°,

RtACDO=RtACDO(HL),

:.ZCOD=ZC'O'D',

.CO=BO,CO=BO,

:.ZOCB=NB,NOCB=NF,

ZB=-(180°-ZCOB)>ZB(=-(l80°-ZCVB1),

22

:.ZB=AB,

11.有一矩形纸片ABC。，AB=a,BC=b,将矩形ABC。沿对角线AC对折后放于桌面

上，探究其覆盖桌面的面积.

【分析】由图形可知：折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是原矩形的面积减去重合的部分的

面积，只要求出重合的部分的面积即三角形AEC的面积即可得出结果.

解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S,5<。)，贝心

s=s。BC+S^EDC=/S矩形ABCD+SASC

由RtAABE=RtZ^S石，得召C=AE,

设EC=x,贝1)"2+8£=%2,

即a2+(b-x)2=x2,"+",

2b

解得：1=尘土生，

2b

aa2+b2_a3+ab1

c，

^M£C=22b=4b

32322

,c_1cc_1,1,a+ab4加-a-ab_3ab-o'

••3—33矩形ABCD+XED'C_/+W时-~^b一—4b~

当a＞人时，同理,

bh2+cTh3+crb

SgEC二

22a~4a

3a2b-b3

224b44

故答案为：*/或石产

12.我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量G和6,且&//B,存在唯一实数

使得&=义5,记作/①，6）=几，如图，已知A、B、C、。为同一直线上顺次四点.

（1）若f（AD，DB）=-2,则f（DB,AD）=--；

—2—

⑵