2021年四川省德阳市什邡隐丰中学高三数学理测试题含解析

2021年四川省德阳市什邡隐丰中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的大致图像为(

)．A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当，时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.【详解】函数的定义域为，，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，显然当时，；当时，，综上所述，本题选B.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此类问题从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性入手，经常要用导数研究单调性、极值、零点.

2.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（

）A．

B．C．

D． 参考答案：A试题分析：，，，．故选A．考点：三角函数的图象和性质．3.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）

A

B

C

D参考答案：D4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，，则

的解集为（）A．(－∞,－2)∪(2,+∞) B．(－∞,－4)∪(4,+∞)

C．(－2,2)

D．(－4,4)参考答案：A5.过椭圆的左顶点作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为。若，则该椭圆的离心率为

．A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知，且，则的值是A. B. C. D.参考答案：【知识点】三角函数的求值、化简与证明C7【答案解析】A

∵sinαcosα=，∴2sinαcosα=，即sin2α=，∴（cosα-sinα）2=1-sin2α=．∵α∈（0，），∴cosα＞sinα＞0，∴cosα-sinα=．故答案为A．【思路点拨】可知cosα＞sinα＞0，于是cosα-sinα的符号为正，先平方，再开方即可．7.已知，．若，则的取值范围是A． B．C． D．参考答案：D【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值最小值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合8.均为正数，且则

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c参考答案：A略9.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（

）A．80

B．120

C．140

D．180参考答案：A略10.已知，则A、B、C、D、参考答案：B由，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件，可得出在方向上的投影为，从而求出投影的值．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：．故答案为：．12.甲、乙两个总体各抽取一个样本，甲的样本均值为15，乙的样本均值为17，甲的样本方差为3，乙的样本方差为2，____的总体波动小．参考答案：乙13.函数的值域为，则实数的取值范围是_____________.参考答案：略14.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是____________.参考答案：②③15.如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为

．参考答案：【知识点】切割线定理N1解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。【思路点拨】连接BO,设圆的半径为，先由切割线定理解得，再利用余弦定理求出，则，再次利用余弦定理可得结果。16.一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是

．参考答案：

17.已知数列中，当整数时，都成立，则＝

．参考答案：由得，,即，数列{}从第二项起构成等差数列，1+2+4+6+8+…+28=211.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．参考答案：考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答： 解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0?c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．

（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx

（x≥1）令有f（x）=

（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．19.（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．参考答案：【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】新定义；转化思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据Ω函数的定义，分别求k=1，a=，进行证明即可；（Ⅲ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（）=f（）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（﹣）=f（）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N?，取a∈（k2，k2+k），令=k，m=，则一定有m﹣=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N?，取a∈（k2﹣k，k2），令=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则=0，所以f（）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．20.如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．（Ⅰ）求证：AD∥OC；（Ⅱ）若圆O的半径为2，求AD?OC的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；平行线分线段成比例定理．【分析】（Ⅰ）要证明AD∥OC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明∠1=∠3即可得证．（Ⅱ）因为⊙O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求AD?OC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（Ⅰ）的结论，我们易证明Rt△BAD∽Rt△ODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的两条切线，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，则∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圆O的半径为2，∴AD?OC=AB?OD=8．21.在锐角三角形ABC中，abc分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C的大小；(2)若C=，且ΔABC的面积为，求a+b的值.参考答案：解：

∴∴∵

又C=∴c2=a2+b2-2abcos60°

7=a2+b2-2ab·

7=(a+b)2-2ab-ab

∴(a+b)2=7+3ab=25

∴a+b=5

22.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进性试销售，其单价x（元）与销量y（个）相关数据如下表：单价x(元)8.599.51010.5销量y(个)1211976（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性相关方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为7.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：.参考数据：.参考答案：（1）；（2）10【分析】（1）由表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x为何值时函数值最大．【详解】（1）由表中数据，计算（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，（12+11+9+7+6）＝9，则3.2，，所以y关于x的线性相关方程为y＝﹣3.2x