中考数学高频考点突破-圆的综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的综合1．如图，是的直径，C是圆上一点，弦于点E，且．过点A作的切线，过点C作的平行线，两直线交于点F，的延长线交的延长线于点G．(1)求证：与相切；(2)连接，求的值．2．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上的一点，点D是直径AB上方圆上的一点，连接CD，使得∠A＝∠BDC．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)若CE平分∠ACD，且分别交AD，BD于点E，F，当DE＝2时，求EF的长．3．如图，在中，，点在边上，过三点的⊙交于点，作直径，连结并延长交于点，连结，此时．（1）求证：；（2）当为的中点，且时，求⊙的直径长．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．5．如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接．（1）求证：直线是的切线．（2）若，，求的值．6．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求⊙O的半径和AD的长．7．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线．AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tanB，求⊙O的半径r的值．9．如图，是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长．10．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．11．如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．12．如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．13．如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．14．如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点（1）求证：；（2）如果，，求弦的长．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于Q点，D为BC中点．（1）

如图1，求证：DQ是⊙O的切线；（2）

如图2，连AD交CQ于P点．若AC=4，sinB=，求AP的长．16．如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：(1)在图1中作出圆心O；(2)在图2中过点B作BF∥AC．17．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC=CF；（2）若AB=4，AC=3，求∠BAE的正切值．18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．(1)求证：∠CBF=∠CAB；(2)若CD=2，，求FC的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)见解析(2)【分析】（1）连接．易证为等边三角形，所以，从而可知，由于，易知，所以与相切；（2）作于点H．设，则．易证四边形为平行四边形．因为，所以四边形为菱形，求出，从而可求出、的值，从而可知的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出的值．【解析】（1）连接．∵是的直径，弦于点E，∴．∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴与相切（2）作于点H．设，则．∵与相切，∴．又∵，可得．又∵，∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为菱形．∴．由（1）知∴，∵．∴．∵在中，，∴．【点评】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．2．(1)见解析(2)【分析】（1）如图，连接．欲证明直线是的切线，只需求得即可；（2）由角平分线及三角形外角性质可得，即，根据勾股定理可求得的长．【解析】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，又∵∠A＝∠BDC，则∠ADO=∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°．即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线（2）∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE．又∵∠A＝∠BDC，∴，即．∵∠ADB＝90°，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∴【点评】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．3．（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）连接AF，根据圆周角定理得到，根据，推出BD垂直平分AF，于是得到AB=BF；（2）根据直角三角形的性质得到BF=BC，求得AB=BC，得到，求得，AB==，于是得到结论．【解析】解：（1）如图，连接AFAE是⊙O的直径BD是⊙O的直径BD垂直平分AFAB＝BF；（2）

F为BC的中点AF=CF=BF＝BCAB＝BFAB＝BC，在中，，AC=3，

AC＝AB＝BF在中，，AC=3，

⊙O的直径长为2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）【分析】（1）⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD=DC，根据三角形的中位线的性质得到结论；（2）连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC=90°，又因为CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，推出∠BEF=∠ECF，于是得到tan∠BEF=tan∠ECF，得到等积式，求得EF=2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．【解析】解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径，∴CE⊥AB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，又∵OE＝OC，∴OD∥EB，∴OD⊥CE；（2）连接EF，∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°．∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°，∴∠BEF＝∠ECF，∴tan∠BEF＝tan∠ECF∴，又∵DF＝1，BD＝DC＝3，∴BF＝2，FC＝4，∴EF＝2，∵∠EFC＝90°，∴∠BFE＝90°，由勾股定理，得，∵EF∥AD，∴，∴．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）见解析（2）【分析】（1）根据已知条件可知，从而得出，再由垂径定理可得，即可得到，结论即可得证；（2）由平行可得，再根据相似三角形的性质求得、的值，从而即可求得的值．【解析】解：（1）连结，，如图：∵是的直径∴∵∴∴∵点是的中点∴∴为半径∴直线是的切线；（2）∵∴∴∴∵，∴，，∴∴，∵∴∴．故答案是：（1）见解析（2）【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角、平行线的判定、垂径定理、切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数，注意辅助线的添加可以更加顺利进行解答．6．（1）见解析；（2）3，．【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC，得，据此可得答案．【解析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线.（2）∵∠ABC+∠BAC=90°∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC•tan∠ABC=8，则AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴OE=3，，∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即∴．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．7．（1）BF＝10；（2）r=2．【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（1）见解析；（2）r【分析】（1）如图（见解析），连接OE，先利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定定理可得，然后由平行线的性质可得，最后根据圆的切线的判定定理即可证；（2）先解直角三角形求出AB的长，再根据平行线分线段成比例得，将各线段的长代入求解即可.【解析】（1）如图，连接OE∵AE的垂直平分线交AB于点O∴点E在⊙O上，且∵AE是的角平分线，且点E在BC上于点E又∵OE是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线；（2）在中，由（1）得，即解得：.【点评】本题是一道较好的综合题，考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定定理与性质、圆的切线的判定定理、平行线分线段成比例、勾股定理、三角函数值，通过作辅助线，利用平行线的判定定理证出是解题关键.9．（1）证明见解析；（2）7.【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC=2∠ABC=90°，利用平行线的性质即可求出∠OAD=90°，从而可知AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AC=5，根据三角函数的定义得到CE=3，AE=4，于是得到结论．【解析】解：（1）连接，∵，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）过作于，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（1）见解析；（2）CM＝.【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．【解析】（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接，，是直径，，，，，【点评】此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证明△ACN∽△MCB来求解.11．（1）见解析；（2）FC＝.【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得∠EFC+∠OFA=90°，即可证得∠EFO=90°，即EF⊥OF，从而证得结论；（2）根据圆周角定理得出∠AFM=90°，通过解直角三角形求得AM=10，得出AD=8，进而求得，即可求得．【解析】（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OFA，∴∠EFC+∠OFA＝90°，∴∠EFO＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，，∵AF＝6，∴，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，，∴，∴，∴.【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理的应用以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．（1）见解析；（2）.【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD=AD，可以假设AD=a，CD=a，设KC=b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）-4=0，解得＝．【解析】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK＝KB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）∵CD＝AD，∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．∵DK＝KB，AO＝OB，∴OK＝AD＝a，∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，∴△CDK∽△COD，∴＝，∴＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），∵CK∥AD，∴＝＝＝．【点评】本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．13．（1）见解析；（2）的半径为6．【分析】(1)连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；(2)根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】(1)连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；(2)∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半径为6．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（1）见解析；（2）.【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．【解析】（1）证明：连接，∵与相切，是的半径，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴.∴，∴.（2）∵为直径，∴.在中，，又，∴，又∵，∴，∴.∵，∴.在中，，，∴.∴.在中，.在和中，∵，∴，∴，即，∴.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．15．（1）见解析；（2）AP=．【分析】(1)连结OQ,OD,证明△COD≌△QOD(SAS),得∠OQD=∠ACB=90°,根据切线的判定推出即可(2)先根据三角函数求得BC和AB的长,根据勾股定理得AD的长,证明△AQP∽△DGP,得可得AP的长【解析】（1）证明：如图1，连结OQ，OD，∵OA=OQ，∴∠A=∠OQA，∵D是BC的中点，∴OD∥AB，∴∠COD=∠A，∠DOQ=∠OQA，∴∠COD=∠DOQ，在△COD和△QOD中，∴△COD≌△QOD(SAS)，∴∠OQD=∠ACB=90°，∴DQ是⊙O的切线；（2）△ABC中，∠ACB=90°，∴sinB=

，∵AC=4，∴AB=2，由勾股定理得：BC=，∴CD=BD=3，过D作DG⊥CQ于G，则DG∥BQ，∴CG=QG，∴AD=5，cos∠B=，∴，∴，DG=BQ=∵∠AQP=∠DGP=90°，∠APQ=∠DPG，∴△AQP∽△DGP，∴，∵AP+PD=AD=5，∴AP=

．【点评】此题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题关键在于做辅助线16．见解析.【分析】（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．【解析】解：作图如下：（1）；（2）.【点评】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（1）证明见解析；（2）tan∠BAE=.【分析】（1）连接AD,BE，若要证明AC=CF，则只要证明∠CAE=∠EFB=∠AFC即可；（2）易证得BF=2，根据cos∠ABC===，可求出BD的长，进而得到AD和DF的长，然后根据tan∠BAE=tan∠DAE求得即可．【解析】（1）证明：连接AD