2023学年完整公开课版圆周角(优秀)

24.1.4圆周角回忆1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。数学中的足球问题当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACDEE●OBDCAAC所对角∠AEC∠ABC∠ADC的大小有什么关系？⌒

生活实践

探究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？CB顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？oABoABoABoABoABoABoABoABoABCCCCCCCC图1图2图3图4图5图6图7图8图9圆外角圆内角思考：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

1．一段弧上所对的圆周角的个数有多少个？所对的圆心角有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？结论:1．一段弧上所对的圆周角的个数有无数多个．所对的圆心角只有一个。2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”圆周角和圆心角的关系

如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?注意：圆心角与圆周角的位置关系.●OABC●OABC●OABC1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.在圆周角的外部．圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有·COABD一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．如图:

∠C=∠D=∠E=∠AOB的一半反过来,在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.

圆周角定理·ABCDEO思考2如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.

想想看，∠ACB会是怎么样的角？

·ABC1OC2C3

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;反之,90°的圆周角所对的弦是直径．推论1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6练习方法点拔：由同弧来找相等的圆周角当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACDE

生活实践

E●OBDCA规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半AC所对的圆周角∠AEC∠ABC∠ADC的大小有什么关系？⌒结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。例题

1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A

1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A

2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB=CF,

弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E

求证：BE=EC例题⌒⌒3、已知⊙O中弦AB等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。OAB圆心角为60度圆周角为

30度或

150度。例题1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB练习:3、求圆中角X的度数BAO.70°xAO.X120°练习:600BP（1）（2）12003504、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

。CABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2练习:4:如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°

若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEBOCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。

OCDBA如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补。定理1.(1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____∠CDE=______

(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°

则∠B=______∠D=______(3)四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,180°100°80°

50°

130°

45°EDBAC80DBACO100180°(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=750,则∠C=_____

75°返回圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。DBACO等腰梯形2.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4

（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4

（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4

（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B3、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（）

A、115°B、130°C、65°D、50°4.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=

。DABCO⌒APBCA120度例1如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.例题∴⌒⌒AD=BD1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；反之,相等的圆周角所对的弧相等。2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°90°的圆周角所对的弦是圆的直径小结:4.圆内接多边形和多边形的外接圆的定义5.圆内接四边形的对角互补24.14圆周角2

圆的认识12:如图，P是圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。

求证：△ABC是等边三角形。··APBCO证明：∵∠ABC和∠APC都是⌒所对的圆周角。

AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角，BC∴∠BAC=∠CPB=60°。∴△ABC等边三角形。应用练习2、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC

为直角三角形.证明：CO=AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC

为直角三角形.课本练习

例2