广东省肇庆市怀集甘洒中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

广东省肇庆市怀集甘洒中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知sin＝，则cos(π＋2α)的值为()．A．－

B.

－

C.

D．参考答案：B2.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，设Sn是数列{an}的前n项和，则S10的值为（）A．110 B．90 C．55 D．45参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出S10．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为2，a2，a4，a8成等比数列，∴，∴（a1+3×2）2=（a1+2）（a1+7×2），解得a1=2，设Sn是数列{an}的前n项和，则S10=10a1+=10×2+=110．故选：A．3.设z=1﹣i（i是虚数单位），则+z2等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i参考答案：C【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的四则运算进行化简即可得到结论．【解答】解：∵z=1﹣i，∴+z2===1+i﹣2i=1﹣i，故选：C．4.设f：x→x2是集合A到B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B只可能是

A．?或{1}

B．{1}

C．?或{2}

D．?或{1}或{2}参考答案：A略5.已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=ex（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）

④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．②④参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误，可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴该命题错误；②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；∴该命题错误；③（1）x＜0时，f（x）=ex（x+1）；∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；（2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；∴该命题正确；④（1）x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；（2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；∴该命题正确；∴正确的命题为③④．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，函数零点的定义及求法，指数函数的值域，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，可画图解本题．6.幂函数的图象经过点，则的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B7.实验测得四组数据为（1．5，2）、（2．5，4）、（3，3．5）、（4，5．5），则与之间的回归直线方程为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略8.已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{} B．[，）∪{} C．[，]∪{} D．[，）∪{}参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用．【分析】若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=logax与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=logax，与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣2）点时，由loga5=﹣2，解得a=；当对数函数的图象过（3，2）点时，由loga3=2，解得a=；当对数函数的图象过（7，2）点时，由loga7=2，解得a=．故a∈[，）∪{}，故选：D．9.直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B． C．4 D．3参考答案：A【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．10.在中，“”是“”的(

)A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】余弦函数在上单调递减【详解】因为A,B是的内角，所以,在上余弦函数单调递减,在中，“”“”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有

种.参考答案：31略12.已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为

．参考答案：考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可．解答： 解：由题意=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣1，2）∵与垂直，∴=（﹣3λ﹣1）（﹣1）+2λ×2=7λ+1=0，解得，故答案为：点评：本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题．13.，则的值等于

参考答案：814.（5分）（2015?浙江模拟）若实数a和b满足2×4a﹣2a?3b+2×9b=2a+3b+1，则2a+3b的取值范围为．参考答案：（1，2]【考点】：有理数指数幂的化简求值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：令2a=x＞0，3b=y＞0，x+y=t＞0，则2×4a﹣2a?3b+2×9b=2a+3b+1，化为5x2﹣5tx+2t2﹣t﹣1=0，令f（0）=5x2﹣5tx+2t2﹣t﹣1，可得：f（0）=2t2﹣t﹣1＞0，△=25t2﹣20（2t2﹣t﹣1）≥0，解出即可．解：令2a=x＞0，3b=y＞0，x+y=t＞0，则2×4a﹣2a?3b+2×9b=2a+3b+1，化为2x2﹣xy+2y2=x+y+1，即5x2﹣5tx+2t2﹣t﹣1=0，令f（0）=5x2﹣5tx+2t2﹣t﹣1，则f（0）=2t2﹣t﹣1＞0，△=25t2﹣20（2t2﹣t﹣1）≥0，解得1＜t≤2，∴2a+3b的取值范围为（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】：本题考查了指数函数的性质、二次函数与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.渐近线为，且过点的双曲线方程是__________．参考答案：∵双曲线的一条渐近线为，∴设为双曲线方程，∵点在双曲线上，代入可得，∴标准方程为．16.盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．

参考答案：17.已知经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，且，若直线AB被圆所截得的弦长为4，则p=______.参考答案：或6抛物线的焦点，设直线方程为，代入有，设，从而①，，②由可得③，联立①②③可得，于是直线方程为，即，从而圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦长为4，从而有，解得或6。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.不等式选讲已知，且．（Ⅰ）试利用基本不等式求的最小值；（Ⅱ）若实数满足，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有．……4分（Ⅱ），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．……………7分

略19.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.参考答案：（1）∵，∴完成年度任务的人数为（2）第1组应抽取的人数为，第2组应抽取的人数为.第3组应抽取的人数为，第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为；第5组有3人，记这3人分别为；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为，，，，，.，，，A.B1，A，B2，AsB，B1B2，B1B1，B.B1，共有15个基本事件。获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个，故所求概率为

20.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，．（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面．（Ⅱ）求二面角的大小．（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．参考答案：见解析（Ⅰ）证明：过点作，交于，连结，如图所示，∵，∴，又，，，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）解：∵梯形中，，，∴，∵平面，∴，，∴如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，∵，，∴，即，令得，同理可得，∴，∵二面角为锐角，∴二面角为．（Ⅲ）假设存在点满足题意，设，∴，∵，∴，解得，∴上存在点使得，且．21.(12分)如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；(2)求弦AB中点M的轨迹的普通方程。参考答案：⑵

设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

……10分消去参数k，得

；即为M点轨迹的普