2022年上海复旦万科实验学校高三数学理模拟试题含解析

2022年上海复旦万科实验学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，错误的是（

）A．平行于同一平面的两个不同平面平行B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行参考答案：D2.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象(

)A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．3.“△的三个角A，B，C成等差数列”是“△为等边三角形”的(

)A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(

)A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．5.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A．

B．C．

D．参考答案：B平移后函数解析式为，令，则，．故选B．

6.已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．【解答】解：根据面面垂直的判定定理可得，若l?α，l⊥β，则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β，则l⊥β不一定成立，即必要性不成立．故“l⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用线面垂直和面面垂直的关系是解决本题的关键．7.下列选项中，说法正确的是

（

）A.命题“若，则”的逆命题是真命题；B.命题“”的否定是“”;C.命题“”为真命题，则命题均为真命题；D.设是向量，命题“若”的否命题是真命题.参考答案：B略8.已知，则的表达式为（）

B．

C．

D．参考答案：A9.已知集合，，则=（

）A． B． C． D．参考答案：A略10.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（▲）。A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的最小值为4，则a的值为_______．参考答案：1略12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形棱锥的高为3故棱锥的体积V=?（2+1）?1?3=故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键．13.曲线处切线与直线垂直，则______参考答案：114.曲线在点处的切线方程为

参考答案：略15.设若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是

▲

参考答案：

16.已知命题，使成立，则______________.参考答案：，成立略17.函数的定义域为________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=+k（+lnx）（k为常数）．（1）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当k≥0时，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=，从而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，从而确定切线方程；（2）求导f′（x）=（x﹣2），从而判断导数的正负以确定函数的单调性；（3）求导f′（x）=（x﹣2），从而可得h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，从而化为y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=，f′（x）=，故f（1）=e，f′（1）=﹣e，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=﹣e（x﹣1），即切线方程为：ex+y﹣2e=0；（2）f（x）=+k（+lnx）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），∵＜0在（0，2）上恒成立，又∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，∴h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，∴y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，作y=ex与y=﹣kx的图象如图，相切时，设切点为（x，ex），则=ex，故x=1；故k1=e；k2==，故e＜﹣k＜，故﹣＜k＜﹣e．【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了导数的几何意义的应用．19.（本小题满分14分）已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处切线的斜率;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)曲线在处切线的斜率为(Ⅱ)函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(Ⅲ)(Ⅰ)由已知,┅┅┅┅┅┅

1分.故曲线在处切线的斜率为┅┅┅┅┅┅

3分(Ⅱ)①当时,由于,故,所以,的单调递增区间为②当时,由,得.在区间上,,在区间上,所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.┅┅┅┅┅┅8分(Ⅲ)由已知,转化为┅┅┅┅┅┅9分┅┅┅┅┅┅

10分由(Ⅱ)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.(或者举出反例:存在,故不符合题意.)当时,在上单调递增,在上单调递减,故的极大值即为最大值,,所以,解得┅┅┅┅┅┅

14分20.已知a>0且，关于x的不等式的解集是，解关于x的不等式。参考答案：关于x的不等式的解集是，∵∴

由（1）得，解得或；

由（2）得，解得或；

∴原不等式的解集是.

21.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.参考答案：（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P().又N为M关于点P的对称点，故N()，ON的方程为，代入y2=2px整理得px2-2t2x=0，解得x1=0，，因此H().所以N为OH的中点，即.（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为，即.代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0，解得y1=y2=2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.

22.（12分）（2015?赫山区校级一模）已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：考点：函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）根据h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．解答：解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原