2018年新人教A版高中数学选修4-4全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学选修4-4

全册同步检测

目录

第1讲一平面直角坐标系

第1讲二极坐标

第1讲三简单曲线的极坐标方程

第1讲四柱坐标系与球坐标系简介

第1讲复习课

第1讲评估验收卷（一）

第2讲一第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化

第2讲一第2课时圆的参数方程

第2讲二第1课时椭圆

第讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程

第2讲三直线的参数方程

第2讲四渐开线与摆线

第2讲复习课

第2讲评估验收卷（二）

模块综合评价

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第一讲坐标系

一、平面直角坐标系

A级基础巩固

一、选择题

1.动点P到直线x+y—4=0的距离等于它到点"(2,2)的距离，则点尸的轨迹是()

A.直线B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

解析：因为M(2,2)在直线x+y-4=0上，

所以点P的轨迹是过M与直线x+j-4=0垂直的直线.

答案：A

2.将点尸(-2,2)变换为〃(一6,1)的伸缩变换公式为()

C.S,1D.,,

y=»[y=2y

=)JC

,，

=〃/，

-6=a(-2),—=3,x=3x,

则解得〈1所以

y

答案：C

3.已知两定点4(-2,0),B(l,0),如果动点尸满足|B4|=2|P3|,则点尸的轨迹所

围成的图形的面积等于()

A.nB.4Ji

C.8nD.9n

1

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解析：设P点的坐标为(x,y),

因为旧4|=2|尸身，

所以(%+2)2+/=4[(工-1)2+/],即(*一2y+/=4.

故点尸的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4TT.

答案：B

在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换，一"'后为(

4.y=/cos2x)

Jly=3j

所以旷=")5X'.

答案：A

[xr=4x,x'2v'2

5.在同一坐标系下，经过伸缩变换=3y后，曲线C变为曲线而+T=1，

则曲线C的方程为()

A.2X2+J2=1B.x2+j2=l

C.x+j=lD.4x+3j=l

X，=4x,X，2/2

解析：将，。代入曲线2+%-=L

y=oy，

得？+丁=1.

所以曲线。的方程为x2+y2=l.

2

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答案：B

二、填空题

6.在平面直角坐标系xOy中，动点P到点(一1,0)的距离是到点(1,0)的距离的也倍，

则动点P的轨迹方程是.

解析：设尸(x,j),则y](x+1)2+j2=(x—1)2+y2,即/+2x+1+/=2(/

—2x+l+j2),

整理得x2+j2—6x+l=0.

答案：x2+j2—6x+l=0

—x

=2017'

7.若点P(—2016,2017)经过伸缩变换,后的点在曲线上，则

y'=2016

解析：因为尸(一2016,2017)经过伸缩变换

/一x-2016

X-2017,=2017'

，y2017

7~2016,=2016'

代入xy=无，得左=—1.

答案：一1

8.在同一平面直角坐标系中，将曲线X2-36/-8X+12=0变成曲线x,2-y,2-4x,

+3=0,则满足条件的伸缩变换是

解析：Y—36/—8x+12=0可化为一一一9_/=1.①

x'2_y2_4x，+3=o可化为（X，-2）2-/2=1.②

x—4

x,—2=­z—,x，=r

比较①②，可得彳2即

J'=3y,yf=3y.

3

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答案：\丫，=~2,

J'=3y

三、解答题

9.已知△43C是直角三角形，斜边的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,

证明：\AM\=^\BC\.

证明：以RtZiABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角

坐标系.

设。两点的坐标分别为S,0),(0,c).

则M点的坐标为修

由于田。|=打不？，|AM|=

故HM=；|3C|.

x'=2x,,2

10.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换《,1后，曲线。变为曲线、

y16

4y2=1,求曲线c的方程并画出图形.

解：设M(x,y)是曲线。上任意一点，变换后的点为Mf(xr,yf).

,=

x2x,2

由V,xf

1且必《，yf)在曲线+4旷2=1上,

16

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所以X2+J2=4.

因此曲线C的方程为/+丁=4,表示以0(0,0)为圆心、2为半径的圆(图略).

B级能力提升

L在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换，;后曲线。变为曲线2—+8旷2=2,

[y=3/

则曲线。的方程为()

A.25/+36/=1B.9X2+100/=1

C.10x+24j=lD.^X2+|J2=1

JQ'5x

解析：将，，'代入2x#+8y2=2中，

ly=3y

得50X2+72/=2,即25X2+36/=1.

答案：A

2.在平面直角坐标系中，动点尸和点加(一2,0),NQ,0)满足|薪V|・|而|十薪V•万

=0,则动点尸(x,y)的轨迹方程为.

解析：设P(x,y),由题意可知MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,j),

—►—►—►—►

由・IMPl+MN・NP=0,

可知4yl(x+2)2+/+4(X-2)=0,

化简，得丁=-8x.

答案：/=一以

3.已知A,8两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地听到晚2s,且声

速为340m/s,求炮弹爆炸的轨迹方程.

解：由声速及在A地听到的炮弹声比在3地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比3

地与爆炸点的距离远680m.

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因为|AB|>680m,

所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上.

以A3所在的直线为x轴，以线段的中点0为原点建立直角坐标系xOy,

设爆炸点尸的坐标为(x,J),

则|Ri|-|PB|=340X2=680,

所以2。=680,a=340,

因为|AB|=800,

所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400,

因为800>|E4|-|PB|=680>0,

所以x>0,

因此炮弹爆炸点的轨迹方程为

115600~44400=1(x>0),

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第一讲坐标系

二、极坐标

高效演练知能提升

A级基础巩固

一、选择题

1.点P的直角坐标为（1,一5），则它的极坐标是（）

解析：p=2ftan夕=一小，因为点尸（1,一书）在第四象限，

故取夕=一1，所以点P的极坐标为（2,一：）.

答案：C

2.将点的极坐标（n,—2口）化为直角坐标为（）

A.（3T,0）B.（3T,2JT）

C.（一叫0）D.（-2JI,0）

解析：x=ncos（—2n）=n,y=nsin（—2n）=0,

所以点的极坐标（n,—2TT）化为直角坐标为（IT,0）.

答案：A

3.设点P对应的复数为-3+3L以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

则点尸的极坐标为（）

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解析：点P的直角坐标是（一3,3）,极坐标是（3啦，手）.

答案：A

4.若P1=P2WO,，1一〃2=小则点M3,〃1）与点N（P2,㈤的位置关系是（）

A.关于极轴所在直线对称

B.关于极点对称

C.关于过极点与极轴垂直的直线对称

D.重合

解析：因为化=々不0,Oi-O2=n,故点M,N住于过极点的直线上，且到极点的距

离相等，即关于极点对称.

答案：B

5.在极坐标系中，已知点P16,高，P2（8,等），则IP1P2I等于（）

A.9B.10

C.14D.2

解析：NP1Q?2=乎一?=m，所以△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得IP1P2I

/

=10.

答案：B

二、填空题

6.已知43两点的极坐标为（6,管,（8,半J,则线段中点的直角坐标为

解析：因为A,8两点的极坐标为（6,卜，普）,

所以A,B两点的直角坐标是（3,3小）,（-4,-4^3）,

所以线段中点的直角坐标是

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答案:R-博

7.在极坐标系中,0为极点，若A(3,春),则△AO3的面积等于.

解析：点3的极坐标可表示为4,日，

则n

ZAOB=^—^不

故S^OAB=^\OA\•|6>B|sinZAOB=1x3X4•sin1=3.

答案：3

(、(x'=2x,

8.平面直角坐标系中，若点小，引经过伸缩变换=1后的点为0,则极坐

标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于

xf=2x,

解析:因为点小，用经过伸缩变换，后的点为水，¥),则极坐标系中,

,1

U=3

极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6sin不=3.

答案：3

三、解答题

9.在极轴上求与点41啦，高的距离为5的点M的坐标.

解：设M(r,0),因为A4啦，3，

所以(4啦)2+r2—8y[2rcos~^—5,

即7-8r+7=0,

解得r=l或r=7,

9

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所以点M的坐标为(1,0)或(7,0).

10.某大学校园的部分平面示意图如图所示.

,XlxH。口

F车库。校门4器材室

用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼,

图书馆，车库，花园，其中|A3|=|3C|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系，写出除点3

外各点的极坐标［限定0W〃<2元且极点为(0,0)］.

7T

解：以。为极点，所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|=600,ZAOC=^,

故4600,T).

又|OA|=600Xcos|=30(h/3,

|OD|=600Xsin季=300,

|。均=30啖，|。/|=300,|OG|=150V1

故4(30味，0),小00,3£(30小，羽,

尸(300,Jr),G[150A/2,割

B级能力提升

蓼，它关于直线，=］的对称点的极坐标是()

1.点”的极坐标是一2,—

117T

A.2,B[-2,y]

6.

7TD(-2,-岩

C.2,

6,

解析：因为〃=—2<0,

10

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所以找点卜2,一野时，先找到角一热终边，再在其反向延长线找到离极点2个单

位的点，就是卜2,一卷如图所示.

故同一2,一"关于直线〃=]的对称点为M(2,々)，又因为M《2,外的坐标还可以

写成2,胡，故选B.

答案：B

2.已知点尸在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2,则当/>>0,。£[0,2

n)时，点尸的极坐标为.

解析：因为点P(x,y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2,

所以x=—2,且y=-2,

所以夕=yy+产=2啦,

v-5n

又tan8=上=1,且〃£[0,2n),所以〃=丁.

X4

因此点尸的极坐标为(2啦，金.

答案：(2限,等)

3.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为4(2,yj,B(2,n),

(1)判断△ABC的形状;

(2)求△ABC的面积.

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解：⑴如图所示,由小，yj,B(2,n),

得|OA|=|O8|=|OC|=2,

2n

ZAOB=ZBOC=ZAOC=-7~,

J

所以△AOB名△BOCGZXAOC,所以AB=BC=CA,

故△ABC为等边三角形.

(2)由(1)可知，

|AC|=2|OA|sin;=2X2X金=25.

s

所以S~8C=^-X(2小)2=35.

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第一讲坐标系

三、简单曲线的极坐标方程

高效演练知能提升

A级基础巩固

一、选择题

1.极坐标方程pcos〃=-6表示（）

A.过点（6,兀）垂直于极轴的直线

B.过点（6,0）垂直于极轴的直线

C.圆心为（3,7t）,半径为3的圆

D.圆心为（3,0）,半径为3的圆

解析：将pcos夕=—6化为直角坐标方程是：x=-6,它表示过点（6,兀）垂直于极轴

的直线.

答案：A

2.圆〃=&（cos〃+sin〃）的圆心的极坐标是（）

A11,WB.&

C.佰金D（2,

解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是/+/一啦*-&y=0,圆心的直角坐

标是（孚，孝），化为极坐标是（1,彳）.

答案：A

3.在极坐标系中与圆〃=4sin〃相切的一条直线的方程为（）

A./?cos0=2B.psin，=2

C.p=4sin（0+：JD.p=4sin（^—

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解析：将圆〃=4sin〃化为直角坐标方程为/+丁=4y，即2尸=4,它与直线

工一2=0相切，将工一2=0化为极坐标方程为〃cos6=2.

答案：A

4.已知点尸的极坐标是（1,7T）,则过点P且垂直于极轴的直线的方程是（）

A.p=\B./>=cos0

Ccos0D,P—cos〃

解析：设M为所求直线上任意一点（除尸外），其极坐标为（p,8）,在直角三角形OPM

中（0为极点），/COS|九一例=1,即〃=――经检验，（1,7T）也适合上述方程.

C-OSLZ

答案：c

5.在极坐标系中，圆/>=2cos〃的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A.〃=0S£R刖pcos0=2B.〃=%£R）和pcos〃=2

C.〃=不/>£阳和〃的5。=1D.。=0（/>£1<）和〃85〃=1

解析：由〃=2cos0,得p2=2〃cos。，化为直角坐标方程为/+丁—2x=0,即（x—1产

+丁=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为6>=?（pGR）

和pcos0=2.

答案：B

二、填空题

6.在极坐标系中，圆p=4被直线。=宁分成两部分的面积之比是.

解析：因为直线，=方过圆〃=4的圆心，所以直线把圆分成两部分的面积之比是1：1.

答案：1:1

7.圆心为《3,方，半径为3的圆的极坐标方程为.

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3^/33

解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为|.因为圆的半径为故圆的直角坐

、2，23,

标方程为X—,化为极坐标方程为〃=6cos]〃一胃.

8.在极坐标系中，圆〃=4sin。的圆心到直线〃=/s£R)的距离是

解析：极坐标系中的圆〃=4sin8转化为平面直角坐标系中的一般方程为X2+J2=4J,

即*2+&—2y=4,其圆心为(0,2).

直线，=?•在直角坐标系中的方程为)=季，即5x-3y=0,

所以圆心(0,2)到直线5x-3y=0的距离为

10-3X21

—yf3.

答案：小

三、解答题

9.(2015♦江苏卷)已知圆。的极坐标方程为/+2啦osin(夕一女|一4=0,求圆。的

半径.

解：圆C的极坐标方程可化为〃?+2啦。(gsin6—乎cos6卜4=0,

化简，得p2+2〃sin0—2pcos8-4=0.

则圆C的直角坐标方程为X2+J2-2X+2J-4=0,

即(x-l)2+(y+l)2=6,

所以圆C的半径为#.

10.已知圆C：X2+/=4,直线/：x+y=2,以。为极点，x轴的正半轴为极轴，

取相同的单位长度建立极坐标系.

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(1)将圆。和直线/方程化为极坐标方程；

(2)P是/上的点，射线0尸交圆C于点处又点。在。尸上且满足|0Q・|0P|=|0R|2,

当点尸在/上移动时，求点。轨迹的极坐标方程.

解：(1)将％=〃859,y=psin8分别代入圆C和直线/的直角坐标方程得其极坐

标方程为C:p=2,

I:p(cos8+sin8)=2.

(2)设尸，Q,K的极坐标分别为Si,8),S,6)S2,8),

则\OQ\\OP\=\ORf得ppx=pi.

22p

又“2—2,Qlcos8+sin8'所以cos6+sin6一露

故点。轨迹的极坐标方程为〃=2(cos6+sin8)SW0).

B级能力提升

1.在极坐标方程中，曲线。的方程是〃=4sin。，过点高作曲线。的切线，则

切线长为()

A.4B.S

C.2/D.2小

解析:p=4sin6化为直角坐标方程为？+&—2了=4,点4,篇化为直角坐标为(2曲,

2).

切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，

由勾股定理，得切线长为d(2小)？+(2—2)2_22=2也

答案：C

2.在极坐标系S，®)(0W〃<2n)中，曲线〃=2sin。与pcos6=-1的交点的极坐

标为•

解析：由〃=2sin9,得p2=2/sin8,

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其直角坐标方程为x2+y2=2y.

pcos8=-1的直角坐标方程为x=-1.

x-ry=2y,=-1,

联立解得

x=-1,=1.

点(-1,1)的极坐标为卜位，与.

答案：［也，

3.在极坐标系中，已知直线p的极坐标方程为psin［。+司=1,圆C的圆心的极坐

标是C(Ly］,圆的半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求直线/被圆。所截得的弦长.

解：(1)设。为极点，0。为圆。的直径，A(p,8)为圆。上的一个动点，则NA0D

nn

=7—〃或NA0D=〃一不

OA=OOcosQ-或OA=ODcos16

所以圆C的极坐标方程为〃=2cos6一彳.

k4)

⑵由psin8+(=1,得坐Q(sin6+cos6)=1,

所以直线I的直角坐标方程为x+y—啦=0,

又圆心。的直角坐标为俘，孚)，满足直线/的方程,

所以直线/过圆。的圆心.

因此直线/被圆C所截得的弦长为2.

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第一讲坐标系

四、柱坐标系与球坐标系简介

高效演练知能提升

A级基础巩固

一、选择题

1.空间直角坐标系。到N中，下列柱坐标对应的点在平面0户内的是（)

A.（l,y,2）B.（2,y,o）

R

JIJI（Ji

C13,不用D.0,y,句

解析：由PS,6,力，当时，点尸在平面Oyz内.

答案：A

2.已知点M的球坐标为（1,p2，则它的直角坐标为（）

解析：设点A/的直角坐标为（x,y,z）,

因为点M的球坐标为（1,1，,

/才_、।.7T元_3

所以x=l・singeos不

..n.7t

y=Lsmjsm4,

z=l-cos3=2,

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所以M的直角坐标为g,坐，

答案：B

3.设点M的直角坐标为(2,0,2),则点M的柱坐标为()

A.(2,0,2)B.(2,or,2)

C.(卷0,2)D.(卷n,2)

解析：设点M的柱坐标为S,6,z),

所以〃=、炉+丁2=2,tan8=，=0,

所以，=0,z=2,所以点M的柱坐标为(2,0,2).

答案：A

4.在空间直角坐标系中的点M(x,y,z),若它的柱坐标为13,p3),则它的球坐

标为()

A.(3,

C.(3,TtD.(3&,%3

了

解析：因为M点的柱坐标为M(3,j,3),设点A/的直角坐标为(x,y,z).

3n3^3

所以x=3cos?=j=3sin

Jr3=2，z=3,

所以M点的直角坐标为,，程3

设点M的球坐标为d(p,，).

》是球面的半径，0为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，〃为向量OM与z

轴正方向夹角.

所以r=弓+9=3也，容易知道0=1，同时结合点M的直角坐标为

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(2，2'?

3_y[2

可知cos0=-=

73啦_2，

所以〃=£,

所以M点的球坐标为（3啦，件，g

答案：B

5.在直角坐标系中，点（2,2,2）关于n轴的对称点的柱坐标为（)

8.（2蜴%2）

D.（2啦,y,2）

解析：（2,2,2）关于z轴的对称点为（一2,-2,2）,

则p=q(-2)2+(-2)2=2®tan〃=?===1,

1乙

因为点（一2,—2）在平面0孙的第三象限内，

所以〃=竽，

所以所求柱坐标为（2啦，竽，2）.

答案：C

二、填空题

6.已知点M的球坐标为（4,I，t，则它的直角坐标为,它的柱坐标是

答案：（一2,2,2柩（2卷y,2闾

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7.已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为卜，等，同，且点M在数轴Oy上的射影

为N,则|0M|=,|MN|=.

解析：设点M在平面Oxy上的射影为P,连接PN,则PN为线段MN在平面Oxy

上的射影.

因为直线Oy,MP_L平面Oxy,

所以PN_L直线2y.

”.2TT

所以|0P|=〃=2,|PN|=pcos-y=1,

所以p2+^=yj22+(-\/5)2=3.

在RtZkMNP中，ZMP2V=9O°,

所以\MN\=\]\PMf+\PNf=y](^5)2+12=^6.

答案：3#

8.已知点M的球坐标为1%:,智，则点M到。z轴的距离为.

解析：设点M的直角坐标为(x,y,z),

,,(n3TT)

则由(zr,。，8)=[4,y,丁,

,n3n

知x=4sin-^-cos_^_=_2,

n3n

j=4sinysin-^-=2,

Z=4COS-^-=2V2,

所以点M的直角坐标为(一2,2,2啦).

故点M到Oz轴的距离为2(-2)?+22=2戊.

答案：2啦

三、解答题

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9.设点M的直角坐标为(1,1,V2),求点M的柱坐标与球坐标.

解：由坐标变换公式，可得,=#2+丫2=地,

tan。="=1,

x'

。=4(点1,1)在平面xOy的第一象限.

r=^/x2+j2+z2=^/l2+l2+(^/2)2=2.

小五冗

由rcos力=?=也(04力Wn),得cos(p===?，。=不

所以点M的柱坐标为(隹闾，球坐标为(2,却

2

-

10.在柱坐标系中，点拉的柱坐标为2,3JI求点M到原点。的距离.

解：设点M的直角坐标为(x,y,z).

由S,0,z)=\2,jn,

x=pcos6=2cos|n=­1,j=2sin|n=*,

因此|OM=Nx2+y2+z2=d(一D2+(小)2+(乖)2=3.

B级能力提升

1.空间点尸的柱坐标为s，%Z),点尸关于点0(0,0,0)的对称点的坐标为(0<〃W

31)()

A.(―p,—0,—z)B.(p,0,~z)

C.(p,丸+〃，~z)D.(p,n—0,~z)

解析：点P(p，6,z)关于点0(0,o,0)的对称点为PQ,n+凡-z).

答案：C

2.以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为。孙坐标面，由原点指向北极点的连线

方向为z轴正向，本初子午线所在平面为O#坐标面，如图所示，若某地在西经60°,

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南纬45°,地球的半径为K,则该地的球坐标可表示为

5n

3)'

I3n5Ji

答案：\R,

P=1,

3.在柱坐标系中，求满足，。<2兀，的动点M（p,6，z）围成的几何体的体积.

、0WzW2

解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足〃=1,0<8<2TT,0<z<2的动

点M（p,6,力的轨迹如图所示，是以直线0为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底

面半径r=l,h=2,

所以V=Sh=nr2A=2n.

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复习课

--------------提纲挈领复习知识-----------------

［整合•网络构建］

［警示•易错提醒］

1.关于伸缩变换的定义的易错点.

xf——AX(X>O)

对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式/,二要区分(x,y)与(/,<)

ly=ny(">o)，

的意义.在应用时必须注意：点(x,y)在原曲线上，点(V,)在变换后的曲线上，因此

点(x,y)的坐标满足原来的曲线方程，点(V,<)的坐标满足变换后的曲线方程.

2.关注直角坐标与极坐标互化的疑难点.

由直角坐标化为极坐标要注意点位于哪一个象限，才能确定0的大小.

3.处理极坐标系问题中的两个易错点.

(1)当极坐标方程中仅含〃(不含p)时，常常忽略〃的正负导致判断错误.

(2)平面直角坐标系中两点A6,力),B(X2,y2)之间的距离\AB\=

、(X1—X2)2十(山一力)2,极坐标系中两点BS1，仇)，尸2s2，仇)之间的距离1尸1尸2尸

1p：+p；-2PgeOS(〃1一〃2).在应用时往往因记忆不清而导致计算错误.

----------------总结归纳专题突破-----------------

专题一平面上的伸缩变换

1.点P(x,y)变为点。(丁，V)的伸缩变换为：

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卜，=Ax(x>0),

[y1=py(">0).

2.变换前的曲线方程、变换后的曲线方程、伸缩变换三者，若知道其中的两个，我

们可以求出第三个.但在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新旧坐标，P(x,

y)是变换前的坐标，Q(xf,

y')是变换后的坐标.

[x'=2x,

[例1]在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，，后，曲线。变成曲线四

ly=2y

一5)2+(/+6)2=1,求曲线。的方程，并判断其形状.

/=&(7>0)

点拨：考查伸缩变换，’,二将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲

[y=fiy(">o),

线方程.

、’=2x

,r’代入(V—5)2+(/+6)2=1中得：

=2y

(2X-5)t2+(2J+6)2=1,

(5^2,i

化筒得曲线C的方程为x—不+(y+3)2=:,

则该曲线是以修，一3)为圆心，扣半径的圆.

»归纳升华

函数y=«A“x)(x£R)(其中。>0,且的图象，可以看做把Ax)图象上所有点的横

坐标缩短(当”>1时)或伸长(当0<“<1时)为原来的3纵坐标不变)而得到的.函数y=

A/(x)(xeR)(其中4>0,且AW1)的图象，可以看做把/(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当

4>1时)或缩短(当0<A<l时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.图形变换中的伸缩变

tj(7>0)

,,「、’在使用时，需分清新旧坐标.

'=Hy(">0),

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=3x,

［变式训练］在平面直角坐标系中，已知伸缩变换外,求曲线)2=2%经

Lv=~2y,

过°变换后所得的曲线方程.

解：设P(x，,y')是直线？上任意一点.

X

x'=3x,予

由伸缩变换外,,,得，

3=~2y,

产一/

代入t/=2x,得%，2=|x，,

即/=5,

因此变换后曲线的方程为.

专题二直线和圆的极坐标方程

直线和圆的极坐标方程的求法和应用是一种常见的题型，一般思路是将曲线上的点

满足的几何条件用坐标表示出来，然后化简、整理.应掌握几种常见直线和圆的极坐标

方程，如〃=2acos〃(aWO),〃=2asinO(aWO),〃=r(r>0)及pcos〃=a,/)sin0=a,0=a,

〃=2acos(，一(z)(aW2A7t,A£Z).

［例2］在直角坐标系。孙中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

。的极坐标方程为〃侬(〃一；)=1,M,N分别为曲线。与x轴、y轴的交点.

(1)写出曲线。的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

(2)设的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

解：⑴由〃cos(。一］=1得p1cos夕+乎sin0=1,

所以曲线。的直角坐标方程为x+小y=2,

当，=0时，p=2,所以M(2,0),

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当0=1时，〃=苧，所以M空，目.

（2）点M的直角坐标为（2,0）,

点N的直角坐标为

所以MN的中点尸的直角坐标为

所以点P的极坐标为殍，

7T

所以直线OP的极坐标方程为〃=w（p£R）.

A归纳升华

此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为

直角坐标方程的常用方法.

［变式训练］在极坐标系中,P是曲线〃=12sin〃上的动点是曲线p=12”电一看

上的动点，试求|尸。|的最大值.

解：因为〃=12sin〃，所以/=i2〃sin0,

所以/+/-127=0,

即炉+⑪一6/=36.

又因为〃=12cos［〃一5,

所以〃2=12〃卜。5〃cossin，sin^1,

所以x2+j2—6小x—6y=0,

所以（x-3由了+&—3）2=36,

所以|P0max=6+6+d（3小）2+32=18.

专题三极坐标与直角坐标互化

如图所示，互化公式为：

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x=〃cos，，y=〃sin，

/>2=x2+j2,tanO=g(xWO)

对于tan，=：中，值的确定，还要根据点(x,y)所在的象限，确定一个适合的角度.

［例3］。01和。。2的极坐标方程分别为〃=4cos〃，p=-4sin0.

⑴把。Oi和。。2的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵求经过。01和。。2交点的直线的直角坐标方程.

解：(l)x=/9cos0,j=psin0,

由〃=4cos0得p2=4〃cos0,

所以X2+J2=4X,

即x2+y2-4x=0为OO1的直角坐标方程.

同理工2+/+包=0为。。2的直角坐标方程.

fx2+j2-4x=o,卜2=2,

(2)由2,解得。

[x+y+4y=0n,回=0n,32=-2.

即。01,。。2交于点(0,0)和(2,-2).

过交点的直线的直角坐标方程为y=­x.

A归纳升华

极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重

合，且两种坐标系取相同的单位长度.

［变式训练］(2016•北京卷)在极坐标中，直线pcos9—\/3Psin6-1=0与圆〃=

2cos，交于4,3两点,则|4为=.

解析：因为x=pcos8,y=psin6,

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所以