2015届高考数学一轮总复习 第四篇 三角函数、解三角形教案 理 苏教版

第四篇三角函数、解三角形

第1讲弧度制及任意角的三角函数

诊断•基础知识由漠△深夯基固本

知识梳理

1.角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看做平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个

位置所成的图形；②分类；角按旋转方向分为正角、负角和零角.

⑵与角。终边相同的角的集合｛£|£=★•360°+。，g].

(3)象限角：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那

么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,

那么这个角不属于任何一个象限.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于遗的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.

(2)公式：

角。的弧度数公式弧长用/表示)

JT(180、

角度与弧度的换算①1°一180'②1rad一(

弧长公式弧长7=1a\r

11.12

扇形面积公式S=-Jr=-\a\r

3.任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸(％y),那么

定义匕叫做Q的正弦，记作sin天叫做。的余弦，记作cos上叫做a的正切，记

X

aa

作tana

I+++

各象限符号II+一一

III——+

IV一+一

口诀I全工E,n正弦，HI正切，IV余弦

y

4(1,0)

三角函数线r

其T

有向线段改为正切

有向线段丝为正弦线有向线段0M为余弦线

线

辨析感悟

1.对角的概念的认识

⑴小于90°的角是锐角.(X)

(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(义)

(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(X)

(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(X)

2.任意角的三角函数定义的理解

(5)(教材练习改编)已知角。的终边经过点尸(-1,2),则sin2—=芈.

q-12+225

(6)(2014•济南模拟改编)点。(tana,cos。)在第三象限，则角。的终边在第二象限.

(7)(2011•新课标全国卷改编)已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终

边在直线y=2x上，则cos夕=够.

□

［感悟•提升］

1.一个区别“小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：

小于90°的角的范围：(一8,高，锐角的范围：(0,总，第一象限角的范围：

(24n,24”+高(462).所以说小于90。的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之

不成立.如(1)、(2).

2.三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧

度制在同一式子中出现；三是如果角。的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两

解，如⑺.

学生用书第46页

突破・高频考点以例求法举反三

考点一象限角与三角函数值的符号判断

COSQ

【例1】（1）若sina•tana<0,且广---<0,则角。是______.

tana

（2）sin2•cos3,tan4的值________0.

解析（1）由sina•tan4Vo可知sina,tana异号,从而。为第二或第三象限的

COSQ

角，由1^---<0,可知cosa,tana异号.从而。为第三或第四象限角.综上，a为

tana

第三象限角.

（2）Vsin2>0,cos3<0,tan4>0,

/.sin2,cos3,tan4<0.

答案⑴三（2）<

规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号

判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限.

oee

【训练1】设，是第三象限角，且cos—=-cos—,则丁是第象限角.

0

解析由J是第三象限角，知了为第二或第四象限角,

oeoo

cos—=—cos—,Acos—^0,知行为第二象限角.

答案二

考点二三角函数定义的应用

【例2】已知角，的终边经过点尸（一/，血（*0）且sin〃=+处试判断角《所在的

象限，并求cose和tan8的值.

解由题意得，+*Asin0=-1====^^,

・・•加W0,.•.加=±m.故角夕是第二或第三象限角.

当勿=乖时，r=2镜，点户的坐标为（一乖，小），角。是第二象限角,

X-乖乖cy乖V15

costan

r~2镜—4，=_3,

当加=一乖时，r=2m，点户的坐标为（一小，一乖）,角，是第三象限角.

X一而加y—y[5y[15

costan

尸2脏一4，x—3

综上可知，cos，=一坐，tan。=一或cos。=一申，tan

，oqj

规律方法利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一

个异于原点的点的横坐标X、纵坐标人该点到原点的距离工若题目中已知角的终边在一条

直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).

【训练2】已知角。的终边在直线3x+4尸0上，求sina,cosa,tan。的值.

解•・•角。的终边在直线3x+4y=0上，

.♦.在角。的终边上任取一点P(4/,—3。(t#0),

贝ljx=4t,y=—3t,

r=y]x+y=yl_4t~耳~—3\―5=5|t|,

当i＞0时，r=5t,

,y—313

当KO时，r=-5f,sina===——

r-5

x\t4y—313

cosa=-=—―=—■r,tan。=一=-77'=一

r—5t5xit4

4

a--。=一，或sin34

综上可知，sin5a=二,cosa=-tana=

55

_3

一

考点三扇形弧长、面积公式的应用

【例3】已知一扇形的圆心角为所在圆的半径为左

(1)若a=60°,仁10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值以＞0),当。为多少弧度时，该扇形有最大面积？

审题路线(1)角度化为弧度=＞求扇形的弧长=S”=S»|一丛今分别求&=|rsin

a0计算得S，；.

(2)由周长C与半径/?的关系确定凡与a的关系式。代入扇形面积公式今确定5城与a的关

系式0求解最值.

解(D设弧长为八弓形面积为S小贝IJ

JTJI10冗，、

o=60°=­»/?=10,7=—X10=-(cm),

OOO

110n1元

S弓=S^—5k=$X—义1。一jX102-Xsin—

苧斗).

(2)法一扇形周长C=2A+/=2A+。兄

G1d1/

24+4。+a*22,,416,

4+F

d

当且仅当。'=4,即a=2rad时，扇形面积有最大值左.

16

法二山已知，得/+2"=4

'S扇=2/"=B(C-2A)R=^-2R+RO

=一(司+条

故当Q)(/=24,。=2rad)时，这个扇形的面积最大，最大值为白.

规律方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用

二次函数求最值的方法确定相应最值.

学生用书第47页

【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆

心角是多少弧度？扇形的面积是多少？

(2)一扇形的周长为20cm；当扇形的圆心角"等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解(1)设扇形的圆心角为§rad,则扇形的周长是2r+r

依题意：2r+r9=nr,/.，=(n—2)rad.

二扇形的面积'=g(Jt—2)r.

(2)设扇形的半径为r,弧长为/,

贝lj7+2r=20,即7=20-2r(0<r<10).

.••扇形的面积5=17r=1(20-2r)r

=­r+10r=—(2-5)2+25.

...当r=5cm时，S有最大值25cm2,

此时7=10cm,。=」=2rad.

因此，当。=2rad时;扇形的面积取最大值.

1.在利用三角函数定义时，点。可取终边上任•点,如有可能则取终边与单位圆的交点.

-1~一■定是正值.

2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正

切，四余弦.

3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是•个小技

巧.I课堂小结I

培养♦解题能力教你解题提升能力

创新突破4——以任意角为背景的应用问题

【典例】(2012•山东卷)如图，在平面直角坐标系中，-单位圆的圆心的初始位置在

(0,1),此时圆上一点一的位置在(0,0),圆在A■轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于

⑵1)时，。的坐标为

突破1：理解点P转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形.

突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长.

突破3：山几何图形建立P点坐标与边长的关系.

解析如图，作轴,

根据题意得劣弧DP=2,故/比-2,则在△/T0中，N/UH2—+，|R=cos

=sin2,

=sid2弋

PQ=—cos2,

所以夕点的横坐标为2—|=2-sin2,P点的纵坐标为1+|阕=1—cos2,所以P点

的坐标为(2—sin2,1—cos2),故8=(2—sin2,1—cos2).

答案(2-sin2,I-cos2)

［反思感悟］(D解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等

知识来解决.

(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等.

【自主体验】

已知圆0：/+/=4与y轴正半轴的交点为M点"沿圆。顺时针运动5弧长到达点儿以

QV为终边的角记为。，则tana=.

解析圆的半径为2,；的弧长对应的圆心角为?，故以QV为终边的角为

1a|a=24n+1,Kz),故tana=\.

答案1

课时•题组训练阶悌训练练出高分

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、填空题

1.若sin。＜0且tana＞0,则。是第象限角.

解析Vsina＜0,则。的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan。

在第•象限或第三象限，故。在第三象限.

答案三

2.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于.

解析设圆的半径为八由题意知r・sin2=1,

]

弧长1=a•T=

sin-

答案一一

sin2

3.（2。14•苏中联考）若0角与野角终边相同,则在［。,2加］内终边与（•角终边相同的角是

■一,8兀,a2nAn、a

解析由题意，得o=—+2A-JI(AEZ),—=—+—(,k^.又7G[0,2n],所以k

b45/4

a2n9n7n19n

=0,1,2,3,

不=下10，5'10,

2n9冗7n19n

答案To-,~9下

（3n3

4.已知点asin丁，cos落在角，的终边上，且夕£［0,2u），则。的值为—

解析山sin牛＞0,cos牛＜0知角夕是第四象限的角,

3Ji

cos

V7n

Vtan0—------1--,--e[r0,2n),.・.0=—,

3n

sm-r~

4

答案片

5.有下列命题：

①终边相同的角的同名三角函数的值相等；

②终边不同的角的同名三角函数的值不等；

③若sin。>0,则。是第一、二象限的角;

④若。是第二象限的角，且P(x,力是其终边上一点，则cos

■\jx+y

其中正确的命题是.

解析①正确，②不正确，

Vsinf"=sin而一•与粤•角的终边不相同.

③不正确.sina>0,。的终边也可能在尸轴的正半轴上.

X____X

④不正确.在三角函数的定义中，cos不论角。在平面直角坐标系的任

ryjx+/'

何位置，结论都成立.

答案①

6.已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若尸(4,力是角。终边上•点,

月一sin。=—贝ljy=.

□

y2m

解析因为sin0,所以yVO,且/=64,所以尸：一8.

5

答案一8

7.

4

如图所示，在平面直角坐标系只》中，角〃的终边与单位圆交于点儿点力的纵坐标为.

□

则cosa=.

4

解析因为力点纵坐标%且力点在第二象限，又因为圆。为单位圆，所以1点横坐标

□

33

四=一弓，由三角函数的定义可得COS0=一亨

3

答案T

8.函数尸72cosx—1的定义域为

解析

*/2cosx-120,/.cos心].

由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).

jiJI

...x£2An—彳，2k+—(左£Z).

o0

JIJT

答案2"一彳，2桁+7JeZ)

二、解答题

9.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360°Wa<720°的

元素a写出来：

①60。；②—21。.

(2)试写出终边在直线y=-/x上的角的集合S,并把S中适合不等式一180°Wa<180°

的元素a写出来.

解(D①S={。|。=60°+4•360°,ACZ},其中适合不等式一360°W。<720°的元素

a为一300°,60°,420°；

②S={a|a=-21°+★•360°,AGZ},其中适合不等式一360°W。<720°的元素a为

-21°,339°,699°.

(2)终边在上的角的集合是S={。。=公360°+120°,4GZ}U{aa=

k-360°+300°,衣GZ}={a|a=h180°+120°,k&Z],其中适合不等式一

180°Wa<180°的元素a为一60。,120°.

10.(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角；

(2)一个扇形的面积是1cm',它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长46.

解(1)设圆心角是0,半径是r,则

2r+r^=10,fr=4,,_

-1Z1,解得〃1或7：（舍去）.

-e•y=4,I0=8

扇形的圆心角为去

(2)设圆的半径为rcm,弧长为1cm,

r=b

解得

1=2.

工圆心角o=-=2.

r

如图，过。作码四于"则N42/7=l弧度.

AH—1•sinl=sin1(cm),

，力£=2sin1(cm).

能力提升题组

(建议用时:25分钟)

一、填空题

1.(2014•杭州模拟)已知角。的终边经过点(3a—9,a+2),且cosaW0,sina>0,

则实数a的取值范围是________.

解析由cossin。>0可知，角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以

3<3-9<0,

有解得一2VaW3.

.a+2>0,

答案(一2,3]

2.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；

④若sina=sin£,贝lja与£的终边相同；

⑤若cos(K0,则。是第二或第三象限的角.

其中正确命题是.

解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错；当三角形的内角为90°时,

其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin《=sin?，但g

666

5ji

与丁的终边不相同，故④错；当6="，cos&=-1<0时既不是第二象限角，又不是第

0

三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.

答案③

3.若角。的终边落在直线x+p=0上，则sinGA/1*-rnQ"a.

^Jl-sin2acosa

解析原式=si。"sinai由题意知角。的终边在第二、四象限，sin。与cos。

|cosa|cosa

的符号相反，所以原式=0.

答案0

二、解答题

4.已知sina<0,tana>0.

(1)求。角的集合；

(2)求］终边所在的象限；

aaa

(3)试判断tan—sin万cos5的符号.

解(1)由sin</<0,知。在第三、四象限或y轴的负半轴上；

由tana>0,知a在第一、三象限，

故。角在第三象限，其集合为

|a|2A+1n<<7<2An

、3兀

(2)由(24+1)n<a<2kn+—,

,Ka3冗

得kN+—<—<AnkRZ,

乙乙'土

故1•终边在第二、四象限.

,,0,一一Qaa

(3)当万在第二象限时，tan万VO,sin万>0,cos5<0,

aaa

所以tan—sin—cos万取正号；

a.__aaa

当于在第四象限时，tan—<0,sin—<0,cos—>0,

乙乙乙乙

_aaa.

所以tan-sin—cos下也取正号.

因此，tan—sin-cos7取正号.

学生用书第48页

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

诊断•基础知识由浅入深夯基固本

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.

、上〜sina

(2)商数关系：------=tana.

cosa------

2.卜一列各角的终边与角a的终边的关系

角2kb+a(AGZ)nT-a—a

图示夺

04

与a角终

相同关于原点对称关于X轴对称

边的关系

续表

JIJI

角H--aT—a

二

图示4

与。角终边的关关于直线尸X对

关于了轴对称

系称

3.六组诱导公式

组数一二三四五六

JI

角2An+a(AGZ)——an——aJI+67~a5+。

正弦sina一sinasin〃一sinacos0COS_4

余弦cosaCOSQ一cosa一cosasinQ—sinQ

'__-----

止叨tanalanatanatana____'------

口诀函数名不考E符号看象限函数名改变彳符号看象限

辨析感悟

1.对三角函数关系式的理解

(1)若a,£为锐角，sin2a-\-cosP—(X)

⑵若aeR,则tana=四一~恒成立.(X)

cosa

4n3

(3)(教材练习改编)已知sina=-,<ze—,n,则cosa=£.(X)

5L2」5

2.对诱导公式的认识

(4)六组诱导公式中的角。可以是任意角.(J)

(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指•会的奇数倍和

偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(J)

(6)角n+a和a终边关于y轴对称.(X)

3.诱导公式的应用

⑺若cos(An—。)=:(〃ez),则cos

(X)

OO

<5itAl1

(8)(2013•广东卷改编)已知sin^F~~a_贝Ucosa—(X)

\z/55

［感悟•提升］

1.一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中。片方+衣”，

AGZ,如⑴、(2).

2.两个防范-是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角

。的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函

数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐，特别注意函数名称和符号的确定.

学生用书第49页

突破-高频考点以例求法举反三

考点一同角三角函数基本关系式的应用

.2sino—3cosa

[例⑴已知tan。=2r则i----------------=

1]4sina—9cosa

4sin2ci—3sintcoso—5cos2o=________.

⑵（2014•山东省实验中学诊断）已知sin0•cos夕=）,且丁＜夕则cos夕一sin

O4L

0的值为

/、2sina_3cosa2tan32X2—3

呻解仅析'(1)々--s-i--n--。-一--9-c-o-s---a=-4-t--a-n--。---9=-4-X--2----91,

2门24sin2a—3sin4cosa—5cos2a

4sinci—3sintcoso—5cosa=--------------;----2----------

sina+cosa

4tan2ci—3tanQ—54X4—3X2—5

=larf«+1=4+1=L

,、,打五

(2)当7V8V万时，sin^>cos®,

cos夕一sin。<0,

13

又(cosJ-sin〃)2=1-2sinJcos^=1—T=",

44

/.cos夕——sin=~"2,

答案⑴一11⑵一平

规律方法(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sina+cosa,sina—cosa,

sin4cos。这三个式子，利用(sino±coso)"=l±2sintcos。可以知一求二.

⑵关于sin*cos。的齐次式，往往化为关于tan。的式子.

【训练1]⑴已知sin°+cos则tan。=一

⑵已知sino=2sinB,tano=3tan£,求cosa=

解析(1)法一联立方程

sina+coso=7,①

o

、sir?o+cos'。=1,②

由①得cosa=!一sina,将其代入②，

整理得25sin2。-5sin。-12=0.

sin

4

又OVtz<n,/.tana=-7.

3

cos

法二Vsina+coso=-,工(sina+cos。

5

24

即l+2sin<7cos.\2sincosa=一

Zb25y

2449

/.(sina—cosa)'=l-2sinacosa=1+—=—

Zbzb

Vsin<7cos。=-777VO且OV。V4，

Asina>0,cosa<0,/.sina—cosa>0,

7

..sma-cosa=-.

5

Isin4

sina+cosa=7a=

554

山得v/.tant=一

.73o

sina—cosa=二cos

5a=~5

a=2sintana=3tan£,

Asin2a=4sin"£,

tan2a=9tan2£,

由①+②得：9cosz。=4cos2£,

①+③得：sin2a+9cos2a=4,

>3

Vcos2ci+sin2=1,Acos2a=-,HPcosa=

o

答案(1)-1⑵士牛

考点二利用诱导公式化简三角函数式

【例2】(l)sin(-l200°)cos1290°+cos(-l020°)-sin(-l050°)

/C、ML~\2sinTI+acosTI-a—cosn+a,,,八、皿

(2)设Aa)=------------------^―----r-----石----7---(1+2sin。70),则

l+sir?q+cos(L^_+—sin[万+

｛一*=--------.

解析(1)原式=-sin1200°cos1290°-cos1020°sinl0500

=-sin(3X360°+120°)cos(3X360°+210°)-cos(2X360°+300°)sin(2X360°

+330°)

=-sin120°cos2100-cos300°sin330°

=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)•sin(360°-30°)=sin

A(311

60°cos300+cos60°sin300=~-X-^-+-X-=1.

-2sina-cosa+cosa

⑵・・"（。）=

1+sin%+sina-cos2o

2sin〃cos〃+cosacosal+2sin。_______[

2sin2o+sinasinol+2sinotano

23五

"V23n

tan—

6

答案(1)1⑵馅

规律方法(1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.

(2)诱导公式应用的步骤：

任意负角的三角函数一任意正角的三角函数

0〜217的角的三角函数一锐角三角函数

注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.

【训练2】(l)sin(-1071°)sin990+sin(-171°)sin(-261°)+tan(-1

089°)tan(-540°)=.

(T

tanJI+acos2兀+。

⑵化简:

cos—Q—3nsin—3n—

解析(1)原式=(—sin1071°)•sin99°+sin171°•

sin261°+tan1089°•tan540°

=-sin(3X360°-9°)sin(90°+90)+sin(180°-9°)•

sin(270°-9°)+tan(3X360°+9°)•tan(360°+180°)

=sin9°cos9°—sin9°cos9°+tan9°•tan180°

=0+0=0.

tanacos°sirj—2冗+(a+万)

(2)原式=----————―-k――得

cos3冗+。[—sin3兀+。J

tan4cosasin-+°

tan<7cosacosQ

-cosasina—cosasina

tan。cosasinacosa

sinacosasina

答案(1)0⑵-1

考点三利用诱导公式求值

【例3】（1）已知5%（彳一贝IjCOS（E•+。）=______;

（2）已知tan（6°）一中，贝汁tan^11++---------

解析⑴•••6—”+修+

...cos修+^=cos[f-^-'卜sin（/-一.

（2）■-'+（等+a）=n,：.tan/4"）=

tan[nQn+tanQ。）一乂3

答案（1）：（2）一平

_一兀，「冗

规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有勺-。与至+。；彳+。

与豆一。；了+。与-a等，常见的互补关系有k+0与.-0.—+e与T一o

uJ44

等.

【训练3】(1)已知sin(7n2nI(llnA

121。卜§，则cos(a12J---------:

(2)若tan(Ji+a)=—贝1」tan(3Ji—。)=_______.

cos

解析(l)cos((a—优11哈-(12一cos["(12+°)]

=-cos信+",

而sing/+a)=sin[-1亳+卜。亳+/J,

(11nA2

所以cos(a12J-'

r

i

⑵因为tan(n+67)=tana=~2f

/、1

所以tan(3几一。)=tan(JI—a)=-tana=5.

21

答案⑴一可(2)-

o/

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三

角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.

2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法：主

Qinv

要利用公式tanx=-----化成正弦、余弦函数；（2）和积转换法：如利用（sin夕土cos6产

cosX

=l±2sin9cos0的关系进行变形、转化；（3）巧用“