版一二维形式的柯西不等式（步步高）

一二维形式的柯西不等式第三讲

柯西不等式与排序不等式学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案(1)二维形式的柯西不等式①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，当且仅当ad＝bc时，等号成立.梳理(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd|≥

(a，b，c，d∈R)；≥

(a，b，c，d∈R).(2)柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则

，当且仅当β是

，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.当且仅当三点P1，P2与O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有零向量|α·β|≤|α|·|β|事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一利用柯西不等式证明不等式证明∵a1，a2，b1，b2∈R＋，证明＝(a1＋a2)2.利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.反思与感悟证明证明＝(x1＋y1)2＋(x2＋y2)2≥0，(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.反思与感悟证明将上面三个同向不等式相加，类型二利用柯西不等式求最值例3若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.反思与感悟跟踪训练3已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴|3a＋2b|≤6.解答当堂训练2341答案51.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是√解析234152.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则√解析∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.答案解析23415≥(1＋2)2＝9，9∴最小值为9.解析答案234514.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则

的最小值为

.答案解析∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，∴m2＋n2≥5.解析当且仅当an＝bm时取等号.234515.已知a2＋b2＝1，求证：|acosθ＋bsinθ|≤1.证明∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.证明规律与方法1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原型，进