复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算知识回顾(4)复数的几何意义是什么？(1)虚数单位i(2)复数的分类？(3)复数相等的等价条件？（一）复数的加法我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即:两个复数相加就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。证：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然

z1+z2=z2+z1同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)点评：探究一?复数的加法满足交换律，结合律吗？z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1∈C，z2∈C，z3∈C实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立.复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi

叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）下面推导复数的减法法则：事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a，d+y=b所以x+yi=(a－

c)+(b－

d)i即：（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i思考?类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算（二）复数的减法复数的减法法则就是:

实部与实部,虚部与虚部分别相减.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.例1.计算解:计算：(1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i);(3)(4)(0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)yxO设及分别与复数及复数对应，则

∴向量就是与复数对应的向量.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，由此出发讨论复数加法的几何意义吗？探究二?符合向量加法的平行四边形法则.复数的加法可以按照向量的加法进行类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？yxO探究三?设及分别与复数及复数对应，则

∴向量就是与复数对应的向量.符合向量减法的三角形法则.复数的减法可以按照向量的减法进行|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离练习1:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上练习2:设z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1|z2+z1|=求|z2-z1|★练习1,满足条件的复数A.一条直线B.两条直线C.圆D.其它在复平面上对应点的轨迹是()2.复数满足,则的最大值是____;最小值是______.C（三）复数的乘法我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么

说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.复数乘法满足交换律、结合律的证明设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(1)因为z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i,

所以z1z2=z2z1

容易得到，对任意z1,z2,z3C,有

(z1z2)

z3=

z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例1.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)

复数的乘法与多项式的乘法是类似的.

我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2 =9-(-16) =25.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.实数集中的完全平方公式、平方差公式等在复数集中仍然适用.练习

设，求证：（1）；（2）

证明：（1）（2）知识要点注意本例(1)3+4i

与3-4i

两复数的特点.

一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z=a+bi的共轭复数记作若Z1,Z2,是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（）（2）Z1Z2是一个怎样的数？()关于实轴对称实数思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么另证明:思考：在复数集C内，你能将分解因式吗？(x+yi)(x-yi)(2)D练习1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.

先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式分母实数化（四）复数的除法例1：(1+2i)÷(3-4i)先写成分式形式然后分母实数化结果化简成代数形式①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.）②设