原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第二章 第17讲 导数与函数的极值、最值配套课件

第17讲导数与函数的极值、最值课标要求考情分析1.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.3.体会导数在解决实际问题中的作用本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)的综合题.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法.分类讨论思想(如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等)利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤

(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)并确定定义域；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案.题组一走出误区1.(多选题)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2-17-1所示，以下命题错误的是()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的最小值点图2-17-1C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零解析：根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，在x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点， ∵函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－1不是函数y＝f(x)的最小值点，∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，则y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零.所以命题错误的选项为BD.答案：BD题组二走进教材

x＝________时，f(x)有极大值，极大值为________.

解析：f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，当x<－2时，f(x)单调递增； 当－2<x<2时，f(x)单调递减；当x>2时，f(x)单调递增.所以当x＝－2时，f(x)有极大值，极大值为f(－2)＝28 3.3.(选修2－2P32A组第6题改编)函数

f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A.1－eB.－1C.－eD.0当x∈(1，e]时，f′(x)<0， 所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B.

答案：B题组三真题展现4.(2016年四川)已知

a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A.－4B.－2C.4D.2

解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝2.

易得f(x)在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.

故f(x)极小值为f(2)，由已知，得a＝2.故选D.

答案：D极值点，则f(x)的极小值为()A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1

解析：由题可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2

＋ax－1)ex－1

＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1

f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1

令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)单调递增，在(－2，1)单调递减 所以f(x)极小值为f(1)＝(1－1－1)e1－1＝－1，故选A.

答案：A5.(2017年全国Ⅱ)若

x＝－2是函数

f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的因为

f′(－2)＝0，所以

a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)ex－1，故考点1函数的极值自主练习1.(多选题)如图2-17-2是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()A.在x2

处导函数y＝f′(x)有极大值B.在x1，x4处导函数f′(x)有极小值C.在x3

处函数f(x)有极大值D.在x5

处函数f(x)有极小值图2-17-2

解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2

的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值.

根据导函数f′(x)的图象可知：x3

的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3

处函数y＝f(x)有极大值.x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5

处函数y＝f(x)有极小值.而x1，x2，x4左右两侧导函数符号相同，原函数f(x)不取得极值.故选ABCD.答案：ABCD2.(2020年广东湛江二模)函数

f(x)＝ax3－6x的一个极值点为1，则f(x)的极大值是()A.－4B.2C.4D.－2

解析：f(x)＝ax3－6x，可得f′(x)＝3ax2－6，f(x)＝ax3－6x的一个极值点为1， 所以3a－6＝0，解得a＝2， 因为f′(x)＝6(x－1)(x＋1)，所以f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数， 所以x＝－1时，函数取得极大值：f(－1)＝4.

故选C.

答案：C

(1)若x＝1是f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为________；

(3)若f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是________.

①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x＝1是f(x)的极大值点.∵x＝1是f(x)的极大值点，综合①②，得实数a的取值范围是a>－1.

(2)由f′(1)＝0，得b＝1－a，

从而b＝－2，∴a－b＝5. (3)f′(x)＝0有两正根，即ax2＋(1－a)x－1＝0有两正根， ∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).答案：(1)a>－1(2)5(3)(－∞，－1)∪(－1，0)【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数f(x)的定义域；

②求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根； ③把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.(2)可导函数极值存在的条件：

①可导函数的极值点x0

一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点.如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；②可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0

左侧与右侧f′(x)的符号不同.考点2函数的最值师生互动

[例1](2020年北京)已知函数f(x)＝12－x2. (1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；

(2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.

解：(1)因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x， 设切点为(x0，12－x0)，则－2x0＝－2，即x0＝1，所以切点为(1，11)，

由点斜式可得切线方程：y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0. (2)显然t≠0， 因为y＝f(x)在点(t，12－t2)处的切线方程为：

y－(12－t2)＝－2t(x－t)，不妨设t>0(t<0时，结果一样)，由S′(t)>0，得t>2，由S′(t)<0，得0<t<2，所以S(t)在(0，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以t＝2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)＝16×16 8＝32.【题后反思】求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【考法全练】(全国百所名校大联考)已知函数f(x)＝2xcosx.(1)求函数g(x)＝2sinx＋x2－f(x)的最值；解：(1)g(x)＝2sinx＋x2－2xcosx定义域为R，g′(x)＝2cosx＋2x－2cosx＋2xsinx＝2x(1＋sinx)，∵1＋sinx≥0，∴x>0时，g′(x)≥0；x<0时，g′(x)≤0，∴g(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞)，∴g(x)有最小值g(0)＝0，没有最大值. ∴h′(x)＝m(x)≤m(0)＝0，∴h(x)在[0，1]上是减函数，考点3利用导数解决生活中的优化问题多维探究

[例2]请你设计一个包装盒.如图2-17-3所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

图2-17-3

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(单位：cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

解：设包装盒的高为h(单位：cm)，底面边长为a(单位：cm)，由已知得(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值.由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.

【题后反思】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f′(x)>0和f′(x)<0时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.

【考法全练】

用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的)边长为( A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm解析：设四角截去的小正方形边长为xcm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0<x<24)，V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·(x－8).当0<x<8时，V′>0；当8<x<24时，V′<0，∴V在x＝8处取最大值，故选B.答案：B

⊙运用分类讨论思想讨论函数中的参数问题(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)，试讨论函数y＝F(x)极值点的个数.解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)cosx－sinx，∴f′(x)＝(－x＋1)sinx，(2)F(x)＝f(x)＋g(x)，F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)＝x－sinx在(－∞，＋∞)上为增函数，又h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)＝x－sinx>0，当x<0时，h(x)＝x－sinx<0.①若a>0时，当x<0时，F′(x)>0恒成立，故F(x)在(－∞，0)上单调递增，当x>a时，F′(x)>0恒成立，故F(x)在(a，＋∞)上单调递增，当0<x<a时，F′(x)<0恒成立，故F(x)在(0，a)上单调递减，故有2个极值；②若a<0时，当x>0时，F′(x)>0恒成立，故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x<a时，F′(x)>0恒成立，故F(x)在(－∞，a)上单调递增，当a<x<0时，F′(x)<0恒成立，故F(x)在(a，0)上单调递减，故有2