高中数学-直线与平面垂直的判定定理教学课件设计

2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1．在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：①等腰三角形底边上的中线__________底边；②菱形对角线互相__________；③正方形对角线互相__________；④圆的直径所对圆周角等于__________.2．我们学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法．●知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分90°直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直●自主预习定义如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做________．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条垂线垂面垂足直线与平面垂直的判定[破疑点]

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．是否可以用来证明线线垂直？直线与平面垂直的判定2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__________⇒l⊥α作用判断直线与平面__________相交a∩b＝P垂直直线与平面垂直的判定1．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(

)A．l和平面α相互平行

B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内

D．不能确定[答案]

D[解析]

如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．直线与平面垂直的判定2．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.[分析]

转化为证明AC⊥BD，AC⊥BB1.由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．直线与平面垂直的判定[证明]

∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面AC，又AC⊂平面AC，∴BB1⊥AC．又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.直线与平面垂直的判定由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；线面垂直的判定[探究]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．直线与平面垂直的判定[证明]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．直线与平面垂直的判定垂直关系的转化：要证线面垂直，可证线线垂直，要证线线垂直，可证线面垂直。关键是在平面内找出(或作出)与已知直线垂直的直线。

规律总结：线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．直线与平面垂直的判定(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形的中线、梯形底边高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．直线与平面垂直的判定1、如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．求证：PM⊥平面ABC；2、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB、2PA=AD，

E、F依次是PB、PC的中点．求证：PB⊥平面AEFD；直线与平面垂直的判定如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD．[分析]要证AH⊥平面BCD，只需证AH垂直于平面BCD内两条相交直线即可．当条件中有线段相等时，证明线线垂直可以考虑等腰三角形的性质．直线与平面垂直的判定 [证明]取AB的中点F，连接CF、DF.∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB．∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD．又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD．直线与平面垂直的判定垂直关系判定方法线面垂直线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)线线垂直计算所成的角为90°(异面直线所成的角)1、同一平面内，a//b,a⊥c

⇒b⊥c2、勾股定理3、a⊥α，b⊂α

⇒a⊥b小节：直线与平面垂直的判定如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F.求证：SC⊥面AEF直线与平面垂直的判定[证明]

(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．又SA∩AB＝A，所以