对数与对数函数 省赛获奖

§2.5对数与对数函数高考数学

(浙江专用)考点对数与对数函数A组自主命题·浙江卷题组五年高考1.(2016浙江文,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若logab>1,则

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D解法一:logab>1=logaa,当a>1时,b>a>1;当0<a<1时,0<b<a<1.只有D正确.解法二:取a=2,b=3,排除A、B、C,故选D.评析

本题考查对数函数的性质,不等式的性质.属于容易题.2.(2015浙江文,9,6分)计算:log2

=

,

=

.答案-

;3

解析

log2

=log2

=-

.∵log43=

=

log23=log2

,∴

=

=

=3

.3.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=

.答案

解析∵a=log43=log2

,∴2a+2-a=

+

=

+

=

.考点对数与对数函数B组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为

()A.c<b<a

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

A本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩

放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.显然c=0.30.2∈(0,1).因为log33<log38<log39,所以1<b<2.因为log27>log24=2,所以a>2.故c<b<a.选A.2.(2019北京文,7,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与

亮度满足m2-m1=

lg

,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1

B.10.1

C.lg10.1

D.10-10.1

答案

A本题考查对数与对数函数;考查学生的数据处理能力和应用意识;考查的核心素养

是数学建模和数学运算.依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以

lg

=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg

=25.25×

=10.1,所以

=1010.1.故选A.审题指导

星等和亮度都可以描述天体的明暗程度,本题需要求的是两个天体的亮度的比值,

利用题中给出的两个天体的星等及星等与亮度比值的关系即可得出所求.3.(2018课标全国Ⅲ理,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则

()A.a+b<ab<0

B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+b答案

B本题考查不等式及对数运算.解法一:∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0,排除C.∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.∵

=

=

=log20.2,∴b-

=log20.3-log20.2=log2

<1,∴b<1+

⇒ab<a+b,排除A.故选B.解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,∵

+

=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,即

<1,∴a+b>ab,∴ab<a+b<0.故选B.4.(2018课标全国Ⅲ文,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是

()A.y=ln(1-x)

B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x)

D.y=ln(2+x)答案

B本题考查函数图象的对称性.解法一:y=lnx图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P在y=lnx图象关于直线x

=1对称的图象上,结合选项可知,B正确.故选B.解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对称点P(2-x,y)在函数y=lnx图

象上,∴y=ln(2-x).故选B.小题巧解

用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题.5.(2018天津理,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo

,则a,b,c的大小关系为

()A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b答案

D本题主要考查对数的大小比较.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.6.(2017北京文,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普

通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与

最接近的是

()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

答案

D设

=

=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.7.(2016课标全国Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,则

()A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错;易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,∴logbc<logac,D错;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=

.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.8.(2015福建,14,4分)若函数f(x)=

(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是

.答案(1,2]解析当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)

=3+logax在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+loga2),显然不满足题意,∴a>1,此时f(x)在(2,+∞)上

为增函数,f(x)∈(3+loga2,+∞),由题意可知(3+loga2,+∞)⊆[4,+∞),则3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1

<a≤2.9.(2019上海,6,4分)已知函数f(x)的周期为1,且当0<x≤1时,f(x)=log2x,则f

=

.答案-1解析本题主要考查函数的周期及函数求值问题,以对数函数为依托,考查学生的运算求解能力.由已知f(x)的周期为1,当0<x≤1时,f(x)=log2x,得f

=f

=log2

=-1.C组教师专用题组1.(2018天津文,5,5分)已知a=log3

,b=

,c=lo

,则a,b,c的大小关系为

()A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b答案

D本题主要考查指数、对数式的大小比较.b=

<

=1,a=log3

>log33=1,c=lo

=log35>log3

=a,∴c>a>b.故选D.方法总结

比较对数式的大小的方法:①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需要对底

数进行分类讨论.②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.③若

底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.2.(2015陕西,10,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是

()A.q=r<p

B.q=r>p

C.p=r<q

D.p=r>q答案

C由题意知f(

)=ln

=

ln(ab)=

(lna+lnb)=

(f(a)+f(b)),从而p=r.因为

>

,f(x)=lnx在(0,+∞)上为增函数,所以f

>f(

),即q>p,从而p=r<q,选C.考点对数与对数函数三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019浙江学军中学高三上期中,5)在锐角三角形ABC中,下列式子成立的是

()A.logcosC

>0

B.logsinC

>0C.logsinC

>0

D.logsinC

>0答案

D由△ABC是锐角三角形,可得1>sinC>0,0<A<

,0<B<

,从而

<A+B<π,∴0<

-A<B<

,∴sinB>sin

=cosA>0.∴1>

>0,∴logsinC

>0,故选D.此题也可考虑特殊值,当△ABC为正三角形时,logcosC

<0,logsinC

=0,logsinC

=0,即可知A、B、C选项错误,故选D.2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,4)设函数f(x)=|log2x|,实数a,b(a>b)满足f(a+2)=f(b+4),f(5a+3b

+22)=3,则

的值可能为

()A.

B.

C.-

D.-

答案

B当0<a+2<1<b+4时,由f(a+2)=f(b+4)得(a+2)(b+4)=1,由f(5a+3b+22)=3得5a+3b+22=8,

即5(a+2)+3(b+4)=8,所以

+3(b+4)=8,解得b=-

或b=-3(舍),此时a=-

,故

=

.同理当0<b+4<a+2<1时,易得

=

.当0<a+2=b+4时,易得

=

.故选B.3.(2019浙江温州九校联考,11)若2a=3,b=log32,则ab=

,3b+3-b=

.答案1;

解析因为2a=3,所以a=log23,所以ab=log23×log32=

×

=1;因为b=log32,所以3b+3-b=2+

=

.4.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,11)设loga8=3,log2b=2,则

=

.答案4解析由题意得,a3=8⇒a=2,b=22=4,∴

=22=4.5.(2019浙江嘉兴9月基础测试,11)已知f(x)=

则f(4)=

,若f(x0)=4,则x0=

.答案2;16或-2解析

f(4)=log24=2.当x0>0时,由f(x0)=4,可得log2x0=4,所以x0=24=16;当x0≤0时,由f(x0)=4,可得

=4,解得x0=-2.6.(2019浙江高考模拟卷(二),16)设x∈R,若函数f(x)为单调函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-ex]=e

+1(e=2.71828…自然对数的底数),则f(ln2)=

.答案3解析∵f(x)为单调函数,∴存在常数k,使f(x)-ex=k,且f(k)=e+1.即f(k)=ek+k=e+1,∴k=1,∴f(x)=ex+

1,∴f(ln2)=3.7.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),17)已知定义在R上的函数f(x)满足:①函数y=f(x+1)的图象

关于点(-1,0)对称;②对任意的x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立;③当x∈[-4,-3]时,f(x)=log2(3x+13),则

f(2017)+f(2018)=

.答案2解析函数y=f(x)的图象是由函数y=f(x+1)的图象向右平移1个单位后得到的,而函数y=f(x+1)

的图象关于点(-1,0)对称,则函数y=f(x)的图象关于原点对称,即y=f(x)是奇函数,则f(1+x)=f(1-x)=

-f(x-1),即有f(x+2)=-f(x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即y=f(x)是以4为周期的函数,故f(2018)=f(2)=-f

(0),又y=f(x)是奇函数,则f(0)=0,故f(2018)=0,f(2017)=f(1)=f(-3)=log2(-9+13)=2,故f(2017)+f(20

18)=2.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:15分钟分值:32分一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,7)已知实数x,y>0,且(x+1)y=16,则log4x+log2y的最大值是

()A.2

B.

C.3

D.4答案

C16=xy+y≥2

⇒xy2≤64,所以log4x+log2y=log4xy2≤3.故选C.2.(2019浙江高考模拟卷(二),8)已知函数f(x)=(x-a-1)(2x-a),g(x)=ln(x-a),当x>a时,f(x)g(x)≥0恒成

立,则实数a的取值范围是

()A.[0,+∞)

B.[-2,0]C.(-∞,2]

D.[-2,+∞)答案

A当x≥a+1时,g(x)≥0;当a<x<a+1时,g(x)<0,所以要使得当x>a时,f(x)g(x)≥0恒成立,需

且

即f(a)≤0成立,所以a≥0,故选A.3.(2019浙江高考信息优化卷(五),9)已知函数f(x)=

若有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4满足方程f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),其中x1<x2<x3<x4,则以下结论不一定正确的是

()A.x1+x4=x2+x3B.x1·x3=x2·x4C.(x1+9)(x2+9)=(x3-1)(x4-1)D.(x1+10)·x4=(x2+10)·x3

答案

B函数f(x)的大致图象如图所示:

则可得以下性质:①x1+10=x3,x2+10=x4,所以可知选项A、D正确;②因为f(x3)=f(x4),所以|lg(x3-1)|=|lg(x4-1)|,即-lg(x3-1)=lg(x4-1),即lg(x3-1)+lg(x4-1)=0,从而(x3-1)·(x4-

1)=1,同理可知(x3-1)·(x4-1)=(x1+9)(x2+9)=1,所以C正确;由①可知,x1·x3=x1·(x1+10),x2·x4=x2·(x2+10),若x1·x3=x2·x4,则x1·(x1+10)=x2·(x2+10),化简得(x1-x2)·(x1+x2

+10)=0,得x1+x2=-10,不一定正确.故选B.4.(2019浙江杭州二模(4月),12)设函数f(x)=

若f

=

,则实数a=

,f(f(2))=

.二、