垂径定理 市赛获奖

3.3垂径定理（第1课时）请观察下列三个银行标志在对称性上有何共同点?圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?③AM=BM,探索规律AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为点M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.探索规律如图,小明的理由是:连接OA、OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.能够重合的弧叫等弧探索规律

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论

分一条弧成相等的两条弧的点叫做这条弧的中点垂径定理CDABE例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．⌒变式一：求弧AB的四等分点．AB变式二：你能确定弧AB的圆心吗？例2已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB

．求证：AC=BD

．．OABCMD圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；．OABCrd2．半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：例3：如图，一条排水管的截面.已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心到水面的距离OC.·ABOC1．已知⊙O的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于

．

242．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DE

C．OE=BED．BD=BC⌒⌒C．ABCODE目标训练3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）

A．3B．6cmC．cmD．9cm

4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）

A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3<OM<5D．4<OM<5．ABOMAA5．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为

．2或146.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：总结回顾（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；1、已知：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC=BD.E.ACDBO课外练习练1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求圆O的半径.练习:在半径为50mm的圆O中，有长50mm的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；⑵∠AOB的度数.EOAB练习:在圆O中，直径CE⊥AB于点

D，OD=4cm，弦AC=cm，求圆O的半径.练2：如图，圆O的弦AB=8cm，

DC=2cm，直径CE⊥AB于点D，求半径OC的长.DCEOABDCEOAB练3：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于点G，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，且圆O

的半径为10cm，CD=16cm，求AE-BF的长.练习:如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于点E，∠CEB=30°，

DE=9cm,CE=3cm，求弦AB的长.GEFAOBCDEDOCAB练4：如图，已知AB、