平行四边形的判定定理

4.4平行四边形的判定（1）ABDC已知：平行四边形ABCD。则可得：边：角：对角线：AB＝CD

AD＝BCAB∥CD

AD∥BC（平行四边形的定义）（平行四边形的两组对边分别相等）（平行四边形的对角相等）∠A＝∠C∠B＝∠DAO＝CO

BO＝DO平行四边形的对角线互相平分O知识回顾1、AB＝CD

AB∥CD四边形ABCD是平行四边形4、AB∥CD

AD＝BC

6、AD＝BC

AD∥BC3、AB＝CD

AD∥BC2、AB＝CD

AD＝BC

5、AB∥CD

AD∥BC√√×√√×从平行四边形的边的关系来考虑：AB＝CD,AB∥CD,AD＝BC,AD∥BC选取两个条件作为命题的题设，结论是四边形ABCD是平行四边形。ABCD探索新知定义ABCD已知：在四边形ABCD中，∠Ａ+∠B=180°

，∠Ｂ+∠C=180°求证：四边形ABCD是平行四边形。只测角度分析:∠Ａ+∠B=180°AB∥CD∠B+∠C=180°AD∥BC四边形ABCD是平行四边形ABCD已知：在四边形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ求证：四边形ABCD是平行四边形。分析:四边形的内角和等于360°∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ+∠Ｄ=360°∠Ａ+∠B=180°，∠B+∠C=180°AD∥BC，AB∥CD∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ只测角度ABCD已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。⌒1⌒2︵3︶4只测边长分析：四边形ABCD是平行四边形两组对边分别平行AD∥BC，AB∥CD角相等连结AC△ABC≌△CDAABCD已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连结AC。⌒1⌒2∴△ABC≌△CDA（SSS）∴AB∥CD

AD∥BC（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）︵3︶4∴∠1＝∠2∠3＝∠4（全等三角形的对应角相等）∵

AB＝CD（已知）

AD＝BC（已知）

AC＝CA（公共边）定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形只测边长∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形ABCD已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。⌒1⌒2︵3︶4测一组对边平行且相等四边形ABCD是平行四边形两组对边分别平行AD∥BC且AB∥CD角相等连结AC△ABC≌△CDAABCD已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连结AC。⌒1⌒2∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）又∵AB＝CD（已知）

AC＝CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（SAS）∴∠3＝∠4（全等三角形的对应角相等）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）︵3︶4定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形测一组对边平行且相等∵ABCD∴四边形ABCD是平行四边形只告诉木工师傅一组对边平行，另一组对边相等，是否一定做出平行四边形？疑问等腰梯形ABEDEＤＡＢＣ

ABCD平行四边形的判定方法两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分知识结构平行四边形的性质定义例1例2补练提高例1已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点。求证：EF//AD//BCABCDEF小试牛刀ABCDEFAE：BE＝1：2DF：CF＝1：2D1D2ABCDA1AnDnA2定义例2提高1、已知：如图，E,F分别是□ABCD

的边AD,BC的中点。求证：BE=DF.DFECBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD(平行四边形的定义)AD=BC(平行四边形的对边分别相等)，∵E,F分别是AD,BC的中点，∴ED=BF,即EDBF.∥﹦∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）。练习∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等)。练习2、已知：如图，CD是线段AB经平移所得的像，连结AD,BC.求证：四边形ABCD是平行四边形。DCBA证明：∵CD是AB经平移所得的像，∴CDAB,∥﹦∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）。例1练习3.已知：如图，AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD.求证：AB∥CD.CDAB证明：∵AD⊥AC,BC⊥AC,∴AD∥BC,∠BCA=∠DAC=90O,又∵AB=CD,AC=CA,∴Rt⊿ACB≌Rt⊿CAD.∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∴AB∥CD(平行四边形的定义)。怎么办？帮帮我！

如图，有一块平行四边形纸片，小孩在玩的时候不小心撕破了，巧的是刚好从A这个顶点撕开，也就是保留了完整两边AB，BC，另一边剩下一小段线段CM，你能用两把无刻度的尺子补好它吗？说说你的方法和理由.ABCM定义例1提高

若现在只有一把有刻度的直尺，你能补好这个平行四边形吗？

小组合作探究探究，尝试尝试，然后谈谈你的方法和理由.ABCMABCM

若现在只有一把圆规，你又怎样补好这个平行四边形吗？

小组合作探究探究，尝试尝试，然后谈谈你的方法和理由.ABCM大显身手DABCEF证明：四边形ABCD是平行四边形AD∥BC且AD=BCEAD=FCBAE=CFEAD=FCBAD=BCAED≌CFB(SAS)DE=BF四边形BFDE是平行四边形在AED和CFB中同理可证：BE=DF练一练：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形定义例1例2补练提高ABCDHEGFO练习4：如图在ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：EF与GH互相平分。定义例1例2补练提高已知直角坐标系内四个点A（a，1），B（b，1），C（c，-1）D（d，-1）。四边形ABCD一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使他一定是平行四边形。合作学习：123124-1-2-3-4-1-2ABCDXYO定义例1例2提高巩固练习已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．求证：EB=DF．

FEDCABGH（1）连接AF、EC分别交BE、DF于点G、点H，

你能得出什么结论？小组同学讨论。拓展练习（2）连接GH，你又能得出什么结论？定义例1例2提高小结：平行四边形的三个判定方法：从边看:两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形

定义例1例2补练提高走进生活比比谁更聪明！ABC

现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45°角的平行四边形(不能有余料),请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.定义例1例2补练提高ABCFDE故事

陈杰是浙江近代史上很有名的数学家，他以精确地测得黄道、赤道的交角度数是23°27'而闻名于世.

在陈杰十六岁那年，他到外婆家过暑假，他舅舅是负责村上测量农田面积的，有一天，在对一块土地（如图所示四边形ABCD）进行测量时，他舅舅就取了四边中点，再连结两对边中点得两线段PQ,MN.于是:四边形ABCD的面积=PQ×MN