经典截长补短法巧解

PAGEPAGE4截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=求AEF的面积（1）解：（简单思路）（第5页题目答案见第6页）（2）正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）过E作EGAD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45，DGE=90所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加强版解：（简单思路）MN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90BD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45，又EQB=90EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45因为GAQ=EGA=EQA=90所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45。BNE=ENF+PNBBEN=QEN+QEB又QEN=ENF，PNB=QEB=45所以BNE=BENBN=BE，又