2023年北京市昌平区高三二模文科数学

昌平区2023-2023学年第二学期高三年级第二次质量抽测

数学试卷（文科）

（总分值150分，考试时间120分钟）2023.4

考生须知：

1.本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部。

2.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填

写。

3.答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第H卷（非选择题）必须用黑色字迹

的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,

未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4.修改时，选择题局部用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不

要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

5.考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第一卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.）

11）i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点在

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

⑵集合A=*|2'>1},B={x\x<l},那么AB=

A.{x|x>l}B.{x|x>O}C.{x|O<x<l}D.[x\x<l}

13）命题〃：VxcR,x22,那么以下结论正确的是

A.命题一1p:VxcR,xW2B.命题X<2

xW—2D.命题一i〃：玉:GR,X<-2

（4）执行如下图的程序框图，输出的S值为

〃=1,S=0

A.102B.81C.39D.21

（5）在区间（0,上随机取一个数x，那么事件"tanxgposxN

S=S+n-3n/输出S

发生的概率为

A.-B.-C.-D.-

4323

（6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,经过x年，绿化廿1去T/L1U积之--

比为y,那么y=/（x）的图像大致为

A.B.C.D.

（7）四棱锥P-A8CD的三视图如下图,那么此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是

二匕

r4-4mRFI侧视图

A.2

C.V13

D.3V2

(8)定义一种新运算：。㊈8函数/(x)=(l+d)Nlog2X,假设函数

。,(。<力)X

g(x)=/(%)—人恰有两个零点，那么攵的取值范围为

A.(1,2]B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1)

第二卷(非选择题共110分)

一、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

(9)在4ABC中，假设。=4,6=5,c=标，那么NC的大小为.

(10)双曲线V一菅=1(。>0)的一条渐近线方程为y=6x,那么人=.

(11)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名频率

学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如下图，由图中数'组距

据可知a=；假设要从成绩在[85,90),[90,95),[95,100]0-060

三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，那

a

么成绩在[95,1(X)]内的学生中，学生甲被选取的概率为.

0.020

X+V>0,o0.016

112)设1,与抛物线V=-4%的准线围成的三角形

[x-y>0

7580859095100分数

区域(包含边界)为D,尸(x,y)为。内的一个动点，

那么目标函数z=x-2y的最大值为一

(13)如图，在边长为2的菱形A3CO中，ZBAD=60,

E为CD的中点，那么AE-BD的值为

(14)对于二次函数/(工)=63+版2+,才+”(。m0)，给出定义：A

设f(x)是函数y=/(x)的导数，r(x)是函数f(x)的导数，假设方程/"0)=0有

实数解与,则称点(x°J(Xo))为函数y=/(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何

一个三次函数都有“拐点"；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中

心.给定函数/(x)=$3—g/+3x—卷，请你根据上面探究结果，解答以下问题：

①函数/(幻=一；一+3x-卷的对称中心坐标为；

1732012

②计算/(—)+/(—)+/(--)++/(—)=

2013201320132013-------

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

(15)(本小题总分值13分〕

S“为等差数列｛%｝的前几项和，且6/3=53=9.

(I)求｛%｝的通项公式；

(II)假设等比数列比“｝满足1=%，4=54,求｛4｝的前〃项和公式.

(16)(本小题总分值13分)

函数f(x)=y/3sin(^-2x)-2cos2x+1,xeR.

TT

⑴求/(,)；

(II)求/(x)的最小正周期及单调递增区间.

(17)(本小题总分值14分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，底面458是正方形，P£

侧面底面ABC。，且PA=PO=手AO=2,/C

E、厂分别为PC、8。的中点.，//：、/

(I)求证：EF//平面P4£)；

(ID求三棱锥P—38的体积；

(III)在线段43上是否存在点G,使得CD_L平面EEG?说明理由.

(18)(本小题总分值13分)

函数/(x)=-a\nx｛a>0).

(I)假设/(x)在x=2处的切线与直线3x-2y+l=0平行，求/(x)的单调区间；

UI)求f(x)在区间［l,e］上的最小值.

(19)(本小题总分值13分)

椭圆W+¥=l(a>b>0)的离心率为如，且过点(0,1).

a-b3

(I)求此椭圆的方程；

(II)定点七(一1,0),直线丁=丘+2与此椭圆交于C、。两点.是否存在实数攵，使得

以线段CD为直径的圆过E点.如果存在，求出左的值；如果不存在，请说明理由.

120)(本小题总分值14分)

如果函数y=/(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得

/(x+a)=/(—x)成立，那么称此函数具有“尸(a)性质".

⑴判断函数丁=5皿”是否具有“P(a)性质”，假设具有“尸(a).性质“，求出所有。的

值；假设不具有“P(a)性质〃，请说明理由；

(H)设函数y=g(x)具有"尸(±1)性质"，且当—时，g(x)=W.假设y=g(x)

与y=交点个数为2023个，求加的值.

昌平区2023-2023学年第二学期高三年级期第二次质量抽测

数学试卷参考答案〔文科〕

一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.)

题号⑴(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

答案ACBACDDB

二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分.)

(9)120°(10)A/3

2

(11)0.040；(12)3

5

(13)1(14)(-,1);2023

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算

步骤.)

〔15〕(本小题总分值13分)

解：(I)设等差数列｛《,｝的公差为d.

因为%=S3=9,

q+2d=9

所以《解得q=-3,d=6............................................................4分

3q+3d=9

所以-3+(〃-1)-6=6〃-96分

(II)设等比数列｛%｝的公比为q

因为4=4=(-3)+6=3也=S=-12+36=24,

所以％3=24,解得，q=2.

所以｛2｝的前〃项和公式为T="("<)=3(2"-1).....................

n13分

i-q

116)(本小题总分值13分)

解：1I):/(x)=6sin(万一2x)—2cos2x+1=V3sin2x-cos2x=2sin(2x--)

6

................................................................4分

f(.~)=2sin(^r--^)=2x^=1...........................6分

TT

(ID/(x)=2sin(2x一一)的最小正周期丁=4，..................8分

6

又由2人万一工42]一工<2kji:+—=>k7r-—<x<左"+生(ZEZ)可得

26263

7TTT

函数/(x)的单调递增区间为kn一一,左万+—伏eZ)......13分

_63_

117)(本小题总分值14分)

(I)证明：连结ACn3D=R,

ABC。为正方形，尸为4c中点，

E为PC中点、.

.•.在AC丛中，£///出.....................2分

且24u平面P4D,所2平面~4。；.£7;'//平面24。.................4分

(II)解：如图，取的中点。，连结0P.

VPA=PD,：.POLAD.

•••侧面24。，底面A8CD

平面PA。c平面ABC。=AD,

PO±平面ABC。.

又PA=尸。=JA。=2,所以△/%£)是等腰直角三角形,

2

且AD=2A/2,P0=-AD=y[2,

2

在正方形ABCD中，S-BCD=；S正方形.co=gx2夜x2夜=4

%功=京.°产0=卜4*血=半......................................9分

(III)存在点G满足条件，理由如下：设点G为A8中点，连接EG,EG.

由尸为8。的中点，所以WG〃A£>,

由(I)'得EFUPA,且FGcEF=F,A£>c9=A,

所以平面EFG〃平面24。.

,/侧面PAD1底面ABCD,平面外。n平面ABCD=AD,

所以，C£>_L平面EFG.

所以，A8的中点G为满足条件的点.............................14分

(18)(本小题总分值13分)

2

解：⑴/(x)的定义域为(0,+00)./'(幻=8-色=土二@.

XX

4一Q3

由/(X)在x=2处的切线与直线3工一2>+1=0平行，那么/(2)=方上=14=1・・.4

分

2

1r_1

止匕时/(x)=—x2—1nx,f\x)=-----.令/(无)=0,得x=1.

2x

『3与1(%)的情况如下:

X(0,1)1

/'(X)—0+

J_

f(x)/

2

所以，/。)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+0。)..................7分

,…。x2-a

(H)由f(x)=x——=-----.

XX

由。>0及定义域为(0,+oo),令尸(x)=0,得冗=

①假设即0<。41,在(l,e)上，f'(x)>0,/(x)在［l,e］上单调递增，

f（X）min~/（O--5

②假设l<G<e,即l<a<e2,在（1,石）上，尸（x）<0,f（x）单调递减；在（6,e）上,

/'(x)>0,/(x)单调递增，因此在［l,e］上，/(x)1nm=/(G)=〈a(l-lna)；

③假设&2e,即aNe?,在(l,e)上，/(x)<0,/(x)在［l,e］上单调递减，

/（x）min=/（e）=ge2-a.

综上，当0<aWl时，/（X）min=；；当1<。</时，/（X）min=（。（1一心4）；当。262时,

1,

/（x）min=ge~-a......................................................13分

(19)(本小题总分值13分)

C_屈

产=3

解:(1)根据题意,<h=l，解得，<b2=\.

a2=/?24-c2c2=2

所以椭圆方程为工+乙=1.5分

31

(H)将y=Ax+2代入椭圆方程，得(1+3/)/+12依+9=0,由直线与椭圆有两个交点，

所以A=(12Q2—36(l+3左2)>0,解得左2>］

12kQ

设。(内，必)、D(x2,y2),那么与+12=-------T，石・工2=-----F，假设以CZ)为直径

1+3k1+3k

的圆过七点，那么反•访=0,即(玉+1)(工2+1)+%必=。，

2

而=(依1+2)(5+2)=^X,X2+2%(尤］+X2)+4,所以

(芯+l)(x2+l)+yI>y2=(公+l)XjX2+(2左+1)(石+x2)+5

_9(r+1)⑵(2A+1)露出-72、］

------―：----------—2---F5=(),解得k=—，满zbk>1.

1+3公1+3改26

7

所以存在火=—，使得以线段CD为直径的圆过£点..............................13分

6

(20)(本小题总分值14分)

解：1I)由sin(x+tz)=sin(-x)得sin(x+6Z)=-sinx，根据诱导公式得

4=2左7+万伏£2).「.了=5111]具有”/>(〃)性质〃，其中〃=2左4+乃(&wZ).

....................4分

(0),・•y=g(x)具有"