2023年电大离散数学集合论部分期末复习辅导

离散数学集合论部分期末复习辅导

一、单项选择题

1.若集合4={〃，{a},{1,2}},则下列表述对的的是（）.

A.{a,{a}}eAB.{1,2}史AC.{a}o4D.0eA

解由于ae/,所以{a}口4

2.若集合A={1,2},3={1,2,{1,2}},则下列表述对的的是（）.

A.AuB,且AeBB.BuA,且力€3

C.AuB,且AMDM”,且AcB

解由于{l,2}eB,A={\,2}

所以Au3,且AeB

3.若集合/={2,a,{a},4},则下列表述对的的是（）.

A.{a,{a}}eAB.0GA

C.{2}eAD.{a}GA

解由于awA,所以{a}cX

4.若集合A={a,{a}},则下列表述对的的是（）.

A.{a}cAB.{{{«}})o4

C.{a,{a}}&AD.0eA

解由于aeA,所以{a}q4

注：若请你判断是否存在两个集合A,B,使ZuB,且AwB同时成立，怎么做?

答：存在。如2题中的集合A、B。

或设4={a},8={a,{a}}。

注意:以上题型是重点，大家一定要掌握，还要灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也

应当会做.

例如，下题是2023年1月份考试试卷的第1题：

若集合A={a,{l}},则下列表述对的的是（）.

A.{1}eAB.{1}cA

C.{a}eAD.0eA

解由于{1}是集合A的一个元素，所以{l}eA

5.设集合A={a},则A的事集为().

A.{{a}}B.{a,{a}}

C.{0,{a}}D.{0,a}

解A={a}的所有子集为

0元子集，即空集：0；

1元子集，即单元集:{。}.

所以P(A)={0,{a}}

6.设集合/={1,a}，则P(A)=().

A.{{1},{a}}B.{0,{1},{0}}

C.{0,{1},{a},{l,a}}D.{{1},{«},{1,«}}

解4={1,a}的所有子集为

0元子集，即空集：0;

1元子集，即单元集:{1},{a}；

2元子集：{1,a}.

所以P(Z)={0,{1},{a},{l,a}}.

注意：*若集合A有一个或有三个元素，那么P(/)怎么写呢？

例如,2023年1月份考试题的第6题：

设集合A={a},那么集合A的基集是{0,{a}}_.

•若A是“元集，则累集尸(“)有2"个元素.当〃=8或10时，4的募集的元素有多少个？(应

当是256或1024个)

7.若集合A的元素个数为10,则其募集的元素个数为().

A.1024B.10C.lOOD.1

解HI=10,所以|P(A)|=2'°=1024

以下为2023年1月份考试题的第1题：

若集合A的元素个数为10，则其幕集的元素个数为().

A.10B.100C.1024D.1

8.设/、8是两个任意集合，ftjA-B=00（）.

A.A=BB.AaBC.A^BD.B=0

解设xe/,则由于/-3=0,所以xeA-6,从而xeB,故Aq反

9.设集合4={1,2,3,4},/?是A上的二元关系，其关系矩阵为

-100T

1000

MR=

0001

1000

则R的关系表达式是（）.

A.{<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}

B.{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}

C.{<1,1>,<2,1>,<4,1>,<4,3>,<1,4>}

D.{<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,1>,<4,3>}

10.集合/={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系/?={<x,y>b+y=10且x,yeA},则R的性

质为（）.

A.自反的B.对称的

C.传递且对称的D.反自反且传递的

解R={<2,8>,<3,7>,<4,6>,<5,5>,<6,4>,<7,3>,<8,2>}

易见，若V则守，/>",所以H是对称的.

答B

另，由于IGA,但<1,1>任R,所以R不是自反的。

由于5印,但<5,5>€〃,所以R不是反自反的。

由于<2,8且<8,2>eH,但<2,2>然,所以不是传递的。

规定大家能纯熟地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质.

11.集合A=[1,2,3,4}上的关系火={<乂例>=y且乂段4},则/?的性质为（）.

A.不是自反的B.不是对称的

C.传递的D.反自反

解/?={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}=〃是/上的恒等关系，是自反的、对称的、

传递的。

答C

12.假如Ri和R?是A上的自反关系，则R|U7?2,照门修,为一&中自反关系有（）个.

A.OB.2C.1D.3

解对于任意放力,由于R和&是A上的自反关系，所以

<a,a>eR\,Va,a>w&,从而<a,a>&RiUR2,<a,a>eRir\R,,<a,a>^（R1-R2）

故H1UR2，Rin/?2是A上的自反关系用-&是/上的反自反关系.

答B

13.设集合4={1,2,3,4}上的二元关系

7?={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},

S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},

则S是R的（）闭包.

A.自反B.传递

C.对称D.自反和传递

解R0S是对称关系，且S去掉任意一个元素就不包含R或没有对称性，即S是包含R的具有

对称性的最小的关系，从而S是7?的对称闭包.

答C

14.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系，B={2,4,6},则集合B的最大元、

最小元、上界、下界依次为（）.

A.8、2、8、2B.8、1、6、1

C.6、2、6、2D.无、2、无、2

解7?={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,

<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,

<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,

<6,6>,<7,7>,<8,8>}

关系A的哈斯图如下：

由图可见，集合B={2,4,6}无最大元，其最小元是2.无上界，下界是2和1.

答D

15.设集合/={1,2,3,4,5},偏序关系4是A上的整除关系，则偏序集V/,上的元素5是集

合A的（).

A.最大元B.最小元

C.极大元D.极小元

<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

关系R的哈斯图如下:

由图可见，元素5是集合A的极大元.

答C

16.设集合A={1,2,3,4,5)

上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A

的子集6={3,4,5},则元素3为B的5

().

A.下界B.最小上界

C.最大下界D.最小元

答B

17.设4=伍,〃，B={\,2},Ri，4，砥是A到8的二元关系，且R]={<a,2>,<b,2>},R2=

(<a,1>,<a,2>,<b,l>},R3={<a,1>,<。,2>},则(）不是从A到8的函数.

A.R\B.R2C.R3D.RI和R

解<a,l>eR,,<a,2>e4,即R2不满足函数定义的单值性，因而不是函数.

答B

注意：函数为，&的定义域、值域是什么？两个函数R,凡是否能复合？

解Do01(/?!)=[a,8}=A,Ran因)={2};

Dorn(&3)={a,b}=A,Ran(&)={1,2}=B.

由于Ran(7?,)SDom(由3)，所以函数R和&不能复合。

18.设月={a,b,c},B={1,2},作了A一民则不同的函数个数为.

A.2B.3C.6D.8

解AXB={<a,l>,<a,2>,<b,1>,<b,2>,

<c,1>,<c,2>}

AXB的任一子集即为从/到B的二元关系，在这些关系中满足函数定义的两个条件(①单值性；

②定义域是A)的关系只能是{Va,□>,<"口>,Vc,口〉}，其中每个有序对的第二元素可取1或

2,于是可知有2X2X2=8个不同的函数.

答D

事实上,8个不同的函数为：

f\={<a,1>,<b,1>,<c,1>},

fi={<a,1>,<b,1>,<c,2>},

于3={<a,1>,<b,2>,<c,1>},

f4={<a,2>,<b,1>,<c,1>},

f5={<a,}>,<b,2>,<c,2>},

fi,={<a,2>,<b,1>,<c,2>},

力={<a,2>,<b,2>,<c,1>},

fs={<a,2>,<b,2>,<c,2>}.

19.设集合A={1,2,3}上的函数分别为：

f={<1,2>,<2,1>,<3,3>},

g={<1,3>,<2,2>,<3,2>},

h={<1,3>,<2,1>,<3,1>},

则/?=().

A.f°gB-g°fC.f。fD.g。g

解/g={<1,3>,<2,1>,<3,1>}=h

g。于={<L2>,<2,3>,<3,2>}

f={<1,1>,<2,2>,<3,3〉}

g°g={<1,2>,<2,2>,<3,2>}

答A

20.设函数/：NTN,M)=n+1,下列表述对的的是().

A../"存在反函数B/是双射的C.7是满射的D.f是单射函数

解由于任意〃1,%eN,”产〃2，

则/(«))=«!+1=/(〃2)，

所以一是单射.

对于OwN,不存在使/(〃)=〃+1=0,

所以f不是满射.

从而f不是双射，也不存在反函数.

答D

二、填空题

1.设集合A={1,2,3},3={1,2},则P(A)~P(B)=,Ax

B=.

解P(A)={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

P(fi)={0,{l},{2},{l,2}}

答{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}

2.设集合力有10个元素，那么A的塞集合P(A)的元素个数为.

答210

3.设集合A={0,1,2,3},8={2,3,4,5},H是4到8的二元关系，

R={<x,y>wA且yeB班,yGAr^B}

则R的有序对集合为.

答R={<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

注意:假如将二元关系R改为

R={<x,y>卜eA且yeB且/=y}

或

/?={<%,y>|xeA且yGBSLX+1=y}

则R的有序对集合是什么呢？

答R={<2,4>}

或H={<1,2>,<2,3>,<3,4>}

4.设集合4={1,2,3,4},B={6,8,12},4到8的二元关系

/?={<x,y>|y=2x,xeA,ye8}

那么R-I={<6,3>,<8,4>}

5.设集合4={。，b,c,d},A上的二元关系/?={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},

则R具有的性质是.

由于任意xeA,<所以R是反自反的.

答反自反的

6.设集合4={&,b,c,d},/上的二元关系R={Va,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>},

若在R中再增长两个元素,则新得到的关系就具有对称性.

答<c,b>,<d,c>

注意:第5,6题是重点，我们要纯熟掌握，特别是5和R的元素都减少的情况。假如6题新得到的关

系具有自反性，那么应当增长哪两个元素呢？

答应增长Vc,c>,<d,d>两个元素

7.假如Hi和&是A上的自反关系，则RU&,*AR2,中自反关系有个.

答2(见:一、9题)

8.设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>IXEA,yeA,x+y=10},则R的自反闭包

为.

由于R=0,所以R的自反闭包S(R)=〃={<1,1>,<2,2>}

答2>}

注意:假如二元关系改为R={Vx,y>IxeA,yeA,x+y<\0}，则R的自反闭包是什么呢？

解R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}是A上的全关系，它的自反闭包是它自己。

答R或{<1,1>,<1,2>,<2』>,<2,2>}

9.设/?是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含

等元素.

答<1,1>,<2,2>,<3,3>

由于等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,

2>,<3,3>等元素.

注：假如给定二元关系凡你能否判断r是否是等价关系？

10.设集合A={1,2},B={a,。},那么集合A到3的双射函数是

/={<\,a>,<2,/?>}^={<\,h>,<2,a>}

想一想:集合4到B的不同函数的个数有几个？

答有4个，除上述两个双射函数外，尚有

h-{<\,a>,<2,a>},z={<l,b>,<2,b>}.

（参考:一、14题）

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由.）

1.若集合4={1,2,3}上的二元关系7?={<1,1>,<2,2>,<1,2>},则

（1）/?是自反的关系；（2）R是对称的关系.

解（1）错误.由于3eA,但<3,3>任R.

（2）错误.由于<1,2>wR,但<2,1>隹R.

2.假如Ri和&是A上的自反关系，判断结论：“父、RiU&、凡0凡是自反的”是否成立?并说

明理由.

解成立.

由于R1和R2是A上的自反关系，所以

任意口"，有<。,。>€与，<a,a>e4,

从而有「（逆关系定义），

<a,a>£&（JR2<。,〃>£«□与

9・

故与’、R1UR2、R1PR2是自反的.

3.若偏序集V/,R>的哈斯图如图一所示,

则集合A的最大元为a,最小元不存在.

解不对的。

可见a大于等于A中的元素1)、c、d、e、

图一

f,但与元素g、h没有关系，所以a不是A的最大元。没有一个元素小于等于A中的所有元素,

所以A没有最小元。

注：本题中，极大元为a、g,极小元为e、f、h.

注意：题目修改为:若偏序集<A,/?>的哈斯图如右a

图所示，则集合A的最大元为a,极小元不存在.

解结论不成立。

力的最大元为a,极小元为"、c.

问：是否存在一个元素a,它既是偏序集<4,R>的最大元，也是<4,的最小元?

4.设集合/={1,2,3,4},B={2,4,6,8},判断下列关系了是否构成函数/：Af并

说明理由.

(1)户{<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>};

(2)户{VI,6>,<3,4>,<2,2>};

⑶户{<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}.

解(1)关系f不构成函数.

由于Dom(f)={L2,4}#A,不满足函数定义的条件.

(2)关系f不构成函数.

由于Dom(f)={l,2,3}HA,不满足函数定义的条件.

(3)关系f构成函数.

由于

①任意awDom(f),都存在唯一的beRan(f),使<a,b>ef;

②Dom(f)=A.

即关系f满足函数定义的两个条件，所以关系f构成函数.

四、计算题

1.设石={1,2,3,4,5},4={1,4},8={1,2,5},。={2,4},求:

(1)(/ln^)u~C；(2)(Au5)-(5nA)；

(3)P(A)-P(O；(4)A®B.

解(1)(AriB)U-C={l}U{l,3,5}={l,3,5};

(2)(AUB)—(3nA)={l,2,4,5}—{1}={2,4,5}；

(3)P(A)-P(C)={0,{l},{4},{l,4}}-{0,{2},{4},{254})

={{1},{1,4}}.

(4)A㊉8=(AUB)-(An8)=(AUB)-(BnA)={2,4,5}.

2.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算

(1)(A-8);(2)(APB)；(3)AXB.

解(1)A-B={{1},{2});

⑵Ans={l,2}；

(3)AxB={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,

<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,

<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,

<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>}

3.设/=[1,2,3,4,5},R={<x,y>\xeA,y&AJ3_x+y<4},S={<r,y>beA,ye/且x+y<0},试

求R,S,R・S,S・R,R-',S',r{S),s(R).

解R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}(S=0

R・S=0,S»R=0,

={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}=R

S-'=0,

r(S)=S\JIA=IA=[<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

S(R)=RURT=R

={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4.设/={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系，B=[2,4,6).

(1)写出关系R的表达式；(2)画出关系R的哈斯图；

(3)求出集合笈的最大元、最小元.

解(1)k={<1[>，<1，2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,

<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,

<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,

<6,6>,<7,7>,<8,8>}

⑵关系R的哈斯图如下：

(3)集合B={2,4,6}无最大元，其最小元是2.

五'证明题

1.试证明集合等式：Au(3cC)=(AuB)n(

证明任意xeAU/nC),则x",或xwsnc.

若xwA,则xwAU8,XGAIJC,从而xe(AUB)n(AUC)；

若xeBClC,则xeB,AIJB,xeAU。

从而尤e(AUB)n(4UO.

所以AU(6nC)£(AU6)n(AUO.

任意xe(AUB)n(AUC),贝ijxeAljB且xeAUC.

由xeAUB知,xeA或xeB.

若xwA,则xwAU(8ClC)；

若“史&则必有由XGAUC知，也有XGC,从而xwBDC,进而xeAU(BnC).

所以(AU8)n(AUC)=AU(8nC).

故AU(B「C)=(AU5)n(4UC).

2.试证明集合等式Ac(BuC)=(AnB)u(AcC).

证明任意xeACKBUC),贝jjx"且xeBUC

即X£A且或.

即尤eA且xcB,从而xeAflB,

或xwA且xeC,从而xeADC.

于是有xe(AnB)U(AnO,

所以An(8uc)=An8)u(Aric).

任意xe(AnB)U(AnC),贝gxeAflB或xeAflC.

若xeADB,贝iJxeA且xe3,从而xeA且xeBUC,xeAA(filjQ;

若xeADC,则