考研数学模拟卷数三答案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐考研数学模拟卷数三答案2022考研数学模拟试卷一【数三】解析

一、挑选题(1)D

解：.15

)

sin1(cos55sin5limlim

sin10

0≠=

+?

=→→e

xxx

x

x

xxβα

（2）B解：由0()1

lim

01cosxfxx→-=-，0lim(1cos)0xx→-=，得0

lim(()1)0xfx→-=，而由()fx''延续知()fx延续，所以

lim()(0)1xfxf→==.

于是2

200()(0)()11cos(0)lim

lim01cosxxfxffxxxfxxxx

→→'==??=-，所以0x=是()fx的驻点.

又由0

1x→''=

，0

1)0x→=，

得0

lim(()1)(0)10xfxf→''''-=-=，即(0)10f''=>，

所以()fx在点0x=处有(0)0f'=，(0)10f''=>，故点0x=是()fx的微小值.应选（B).（3）B

解：当01p++++?

，(,1)nnnξ∈+，

而22

~()((1)1)ppnnnππ→∞++，1

2p

nnπ∞

=∑发散，所以原级数非肯定收敛.又1

sin()2

|

|0()1(1)

nppn

nxdxnxππξ+=→→∞++?

，

而(,1)nnnξ∈+，即1

sin()

|

|1

npn

xdxxπ++?

单调削减.

由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.(4)D

解：记?

=

2

)(dxxfA为常数，于是有8)(='xfA，即A

xf8

)(=

'，两边积分得CxAxf+=

8)(，由0)0(=f得0=C，从而xA

xf8)(=于是AxdxAdxxfA16

8)(2022===??，即4±=A，故4)(20±==?Adxxf选（D）

（5）A

解：易知0=Bx的解是0=ABx的解。当A列满秩时，即nAr=)(时，齐次线性方程组0=Ax惟独零解。于是，若0x为0=ABx的任一解，即00=ABx，则一定有00=Bx，从而0x也为0=Bx的解，故组0=Bx与0=ABx同解。

（6）C

解：A=2x;A特征值：2,1,x；对应*A特征值为：x，2x，2；解得x=-1或-2(7)B

解：由于aXbY-听从正态分布，股按照题设1

()2

PaXbYμ-，

由介值定理知，存在0(0,

)2

xπ

∈，使0()0fx=.

又2

cos()sinxfxex-'=?

1>，2

cos|sin|1xex-?≤，故()0fx'>，()fx严格单调增强，()0fx=惟独唯一的根0x.

（10）解：duudttxyx

u

txx

??=-=-=00sin)sin(，xysin='，1)2

(=π

'y，?π

==π201sin)2(uduy，

故过)1,2

(π

处的切线方程为2

1π

-

=-xy

（11）解：由222=??yz知

)(21xCyyz+=??，由xxfy=')0,(得xxC=)(1，于是xyy

z

+=??2，从而)(22

xCxyyz++=，又1)(1)0,(2=?=xCxf，故12

++=xyyz

（12）[1,5)-

解：由公式，11

1

(1)3lim

13

3nnn

nn+→∞+=所以3R=，收敛区间(23,23)-+，即(1,5)-.再考虑端点1,5xx=-=处.在1x=-处，原级数成

为1(1)nnn∞

=-∑，收敛；在5x=处.原级数成为11nn∞

=∑，发散.所以应填[1,5)-.

（13）解：系数矩阵?????

??

?????????

?--

2

00200000

0100

10

aa

，因此=a0（14）

2ln2

1

。解：???≤>=-0

,00

,)(~xxexfXxλλ。

记),,3(~},2{pBYXA>=其中λλλ22

}2{-+∞

-==>=?

edxeXPpx。

依题意2

1,87)1(1}0{1}1{3

=∴=--==-=≥ppYPYP。由212=

-λ

e

，得2ln2

1

=λ。三、解答题

（15）解：（1）令0=x，得

1)(1

=?dxxg。

（2）对变限积分令dudtuxt==-,，则有

)()12()()()

(0

)

(xfxduugdtxtgxfxfxx

+==-?

?

+，

两边关于x求导，注重到xxfg=)]([，得)(2)()12()(xfxfxxfx+'+='，即0)(2)()1(=+'+xfxfx，则2

)1()(xC

xf+=

。

又1)0(=f，所以1=C，于是2

)

1(1

)(xxf+=

。

(16)解：

2222222,2uuuuuuuxxξηξξηη

???????=+=++????????，2222

22222

,2uuuuuuuabaabbyyξηξξηη???????=+=++????????，将以上各式代入原等式，得

2222

222(341)[64()2](341)0uuuaaababbbξξηη

???+++++++++=????，

由题意，令

2

2

3410,

3410,

aa

bb?++=??++=??且64()20abab+++≠故1,1,31,1,

3aabb=-??=-????

=-??=-??或（17）解：本题要求函数Qkxyαβ

=在条件120PxPyA+-=下的最大值点.用拉格朗日系数法，

构造拉格朗日函数12(,,)()FxykxyPxPyAαβ

λλ=++-，

为求函数(,,)Fxyλ的驻点，令由①、②消去参数λ可得

1

2PyxPαβ=，即12PxyPβα

=，代入③不难计算出唯一驻点1()AxPααβ=

+，2

()AyPβ

αβ=+.

因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，所以计算结果表明，当投入总价值为A（万元）的甲、乙两种原料时，使产量Q最大的甲、乙两种原料的投入量分离是1

()AxPααβ=+（吨）与2()AyPβ

αβ=

+（吨）.

（18）证实：在0=x处，将)(xfTaylor绽开，ηη(,!

3)(2)0()0()(3

2xfxffxf'''+''+

=在0,x之间)，则由)(xf'''的延续性知，)(xf'''在],[21ηη上有最大最小值，分离设为,,mM则

)19(解：（1）?

?+++++=++=+++1

2

sinsin1210

sin110sin1)

1(cos)1(1

|1111)(11dxex

exnexnexdnaxxnxnxnndxex

exnnexxn?+++++=+102sinsin1)

1(cos11)1)(1(1。

记)2)(1(1)

1(cos11101102sinsin1++=+≤++=??++nne

dxxnedxexexnInxxnn，于是0lim=∞

→nna。

（2）,1,1lim,)1)(1(1

~

1==+++∞→Raanean

nnn收敛区间为)1,1(-。

当1-=x时，,)1()

1)(1()1()1(nnn

nn

Inea-+++-=

-∑∞

=++-1)1)(1()1(nnneΘ条件收敛，∑∞=-1)1(nnnI肯定收敛，因此∑∞

=-1

)1(nnn

a收敛；当1=x时，当n充分大时，)2)(1()1)(1(1++-++≥nne

nean，所以∑∞

=1

nna发散，因此级数的收敛域为

)1,1[-。（11分）

(20)解：（I）由已知得，123123()2()Aαααααα++=++，2121()()Aαααα-=--，

3131()()Aαααα-=--，

又由于123,,ααα线性无关，所以1230ααα++≠，210αα-≠，310αα-≠所以1-,2是A的特征值，123ααα++，21αα-，31αα-是相对应的特征向量。

又由123,,ααα线性无关，得123ααα++，21αα-，31αα-也线性无关，所以1-是矩阵A的二重特征值，即A得所有特征值为1-,2

（II）由123,,ααα线性无关，可以证实123ααα++，21αα-，31αα-也线性无关，即A有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵A可相像对角化。

（21）解：将阵),,,,,(321321βββααα作初等行变换化成阶梯阵。

????

???→01020220221013112

1abba。故当2,1≠≠ba时，3),,(),,(321321==βββαααRR，且可以互相线性表示，所以321,,ααα与

321,,βββ秩相等且等价；

当2,1==ba时，2),,(),,(321321==βββαααRR，

等秩且可以互相线性表示；

当2,1≠=ba时，2),,(),,(321321==βββαααRR，等秩，明显3α不行由321,,βββ线性表示，所以不等价；

当2,1=≠ba时，3),,(2),,(321321=≠=βββαααRR，不等秩也不等价。（11分）

（22）解：区域D实际上是以(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)--为顶点的正方形区域，D的面积为２，(,)XY的

联合密度为1

,(,);

(,)20,.

xyDfxy?∈?=???其他有了(,)fxy就可以求()Ufu和()Vfv，特殊可利用(,)fxy的对称

性.

(Ⅰ)UXY=+，(){}{}(,)Uxyu

FuPUuPXYufxydxdy+≤=≤=+≤=

??

.

当1u时，()1UFu=.

1

,11;

()()2

0,

UUufuFu?-≤≤?'==???其他.~[1,1]UU-.VXY=-，(){}{}(,)Vxyv

FvPVvPXYufxydxdy-≤=≤=-≤=

??

.

当1v时，()1VFv=.

1

,11;

()()2

0,

VVvfvFv?-≤≤?'==???其他.~[1,1]VU-.(Ⅱ)cov(,)()UVEUVEUEV=-?.明显0EUEV==，而2

2

2

2

()()()()EUVEXYXYEXYEXEY=+-=-=-，因为,XY的对称性得2

2

EXEY=，所以cov(,)0UV=

，0UVρ=

=.

（23）解：（I）由于θ-=θ-?+θ-θ?+θ=23)1(3