高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版

第第页高一数学(必修一)《第四章对数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3．化简下列各式(1)；(2)．4．已知，求的值．5．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，那么；(2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断的位数；（注：）(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：和）6．计算：(1)(2)7．计算求值(1)；(2)；(3)已知，求的值．8．计算：(1)；(2)；(3)．9．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．参考数据：和．(1)当总质比为230时，则利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？10．(1)；(2)．11．已知函数.(1)证明：函数是偶函数；(2)求函数的零点.12．已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．(1)求及，的值；(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．13．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)14．已知2x＝3y＝a，若，求a的值．15．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)二、单选题16．在下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．17．已知集合，，则（

）A． B． C． D．参考答案与解析1．(1)；(2)9；(3)；(4)4；(5)4；(6).【分析】根据指对数的关系及对数的运算性质求值.(1)由，则，即，故.(2)由，则，故.(3)由，则，故.(4).(5).(6).2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】（1）根据,即可求得;（2）根据,即可求得;（3）根据,即可求得;（4）根据和,即可求得;（5）根据和,即可求得;（6）根据和,,即可求得.【详解】（1）;（2）;（3）;（4）和;（5）和;（6）和.【点睛】本题考查了对数的化简求值,解题关键是掌握和,考查了计算能力,属于基础题.3．(1)(2)-4【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果；（2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果．（1）原式；（2）原式．4．【分析】对原式化简，得，由对数的运算性质求解的值，再代入即可.【详解】由，去分母可得，所以所以.5．(1)答案见解析(2)(3)甲同学的近似值更接近，理由见解析【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立；（2）利用对数运算性质计算出的近似值，即可得出的位数；（3）由题意可得出，比较与的大小关系，即可得出结论.（1）解：若，且，和，则化为对数式得．（2）解：令，所以因为，所以所以，所以的位数为．（3）解：根据题意，得所以所以因为所以，所以所以，所以甲同学的近似值更接近．6．(1)(2)【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可;(2)根据对数的运算性质计算即可.（1）解：=====；（2）解：==.7．(1)44(2)(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算（2）由对数的运算法则计算（3）将指数式转化为对数式后计算(1)；(2)；(3)则；所以．8．(1)0(2)3(3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；（2）提公因式，逐步化简即可求解；（3）逐步将原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接运算）原式．方法二：（拆项后运算）原式．（2）原式．（3）原式．9．(1)m/s(2)45【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.(1)当总质比为230时，则即A型火箭的最大速度为.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为由题意得：因为，所以即，所以不小于T的最小整数为45．10．(1)2；(2)4.【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；(2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式．(2)原式．11．(1)证明见解析；(2)和【分析】（1）先证明函数的定义域关于原点对称，再证明即可；（2）利用对数运算对函数的解析式进行化简，求解方程即可得到函数的零点.（1）证明：由，解得∴函数的定义域为，且定义域关于原点对称又∵，∴是偶函数.（2）解：，令∴，解得.∴函数的零点为和.12．(1)，和；(2)证明见解析【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．（1）因为，所以，即．因为，所以．（2）设为上任意两个实数，且，则，即，所以在上单调递增．所以，所以．13．奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，则①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，则y>5，不满足公司的要求；（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，则不满足公司的要求；（3）对于，易知满足①.当x∈[10，1000]时，则y≤ln1000+1.下面证明ln1000+1<5.因为ln1000+1-5=ln1000-4=(ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)=-1=<0，x∈[10，1000]所以F(x)在[10，1000]上为减函数F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.综上，奖励模型能完全符合公司的要求.【点睛】本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.14．a＝.【分析】利用对指互化得到x＝log2a，y＝log3a，再利用对数的运算化简求值.【详解】因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a所以＋＝＝loga2＋loga3＝loga6＝2所以a2＝6，解得a＝±.又因为a>0，所以a＝.15．(1)log2(2)(3)103＝1000(4)【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.(1)