2021-2022学年湖南省邵阳市周官桥中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市周官桥中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为.若，则等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①

由抛物线的性质可知,，，则，

∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，

由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，

代入整理得：②，

由①②，解得：x0=2，p=2，

∴，

故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.2.已知集合A﹣{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219，则I（a）=129，D（a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495参考答案：D【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）﹣I（a）=972﹣279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）﹣I（a）=963﹣369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）﹣I（a）=954﹣459=495，满足题意．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题．3.如图所示，直线垂直于⊙所在的平面，内接于⊙，且为⊙的直径，点为线段的中点.现有结论：①；②平面；③点到平面的距离等于线段的长.其中正确的是

（

）A.①②

B.①②③

C.①

D.②③参考答案：B4.已知，则a，b，c的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，，则的值是（

）A.1 B. C. D.参考答案：D【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得和，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于，利用诱导公式可求得结果.【详解】是等比数列

是等差数列

本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.6.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为

参考答案：D略7.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是(

) A． B． C． D．1参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出当i＜3成立时，i，m，n的值，即可求出i＜3不成立时输出n的值．解答： 解：执行程序框图，有i=1，m=0，n=0i＜3成立，i=2，m=1，n=i＜3成立，i=3，m=2，n=i＜3不成立，输出n的值为．故选：C．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．8.已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则?A（A∩B）=（）A．{﹣2，0} B．{2，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{2，1，0}参考答案：A【考点】补集及其运算．【分析】求出集合B的元素，根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】解：B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，则A∩B={2}，则?A（A∩B）={﹣2，0}，故选：A9.设复数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.在复平面内，复数对应的点位于复平面的

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

.参考答案：：：由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以的概率.12.如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=参考答案：﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，再利用余弦函数的图象特征求得x0的值，可得要求式子的值．【解答】解：根据函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，可得cosφ=，∴φ=，∴f（x）=cos（πx+）．再根据πx0+=，可得x0=，∴f（3x0）=cos（5π+）=﹣cos=﹣，故答案为：﹣．13.给出以下结论：（1），若，则的否命题是假命题；（2）若非零向量两两成的夹角均相等，则夹角为（3）实数满足，设，则＋(4)函数为周期函数，且最小正周期其中正确的结论的序号是：_____________（写出所有正确的结论的序号）参考答案：（1）(4)（1）命题的逆命题为：，若，则，为假命题，而逆命题与否命题同真假，所以（1）正确。（2）空间中还可以成其它的角度。（如），所以（2）错误。（3）设代入①式得：

4S－5S·sinαcosα＝5

解得S＝

；∵-1≤sin2α≤1

∴

3≤8－5sin2α≤13

∴≤≤∴＋＝＋＝＝所以（3）错误(4)作出函数的图象，由图象知：，所以（4）正确14.若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为____________．参考答案：15.已知向量，，若，则__________．参考答案：16.已知单位向量与的夹角为60°，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．【解答】解：∵单位向量与的夹角为60°，∴||=||=1，?=||?||?cos60°=∴．故答案为：．17.若函数f（x）=k﹣有三个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，0）∪（0，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数与零点的关系将函数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=k﹣=0得k=，设g（x）=，若函数f（x）=k﹣有三个零点，等价为y=k，和g（x）有三个交点，g（x）==x3﹣3x，（x≠0），函数的导数g′（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1），由g′（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由g′（x）＜0得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数取得极小值，g（1）=﹣2，当x=﹣1时，函数取得极大值，g（﹣1）=2，要使y=k，和g（x）有三个交点，则0＜k＜2或﹣2＜k＜0，即实数k的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2），故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）（m＞0）的最小值为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA﹣acosB，求f（C）的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x﹣φ），其中tanφ=，由其最小值为﹣2，可得m，进而可求φ，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．（Ⅱ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求A=，由范围C∈（0，），可得2C﹣的范围，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）=msinxcosx﹣cos2x+sin2x=msin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），其中tanφ=，∴由其最小值为﹣2，可得：=2，解得：m2=12，∵m＞0，可得：m=2，tanφ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…6分（Ⅱ）∵bcosA=2ccosA﹣acosB，即bcosA+acosB=2ccosA，∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，∵C为三角形内角，sinC≠0，∴cosA=，可得A=，∴C∈（0，），可得：2C﹣∈（﹣，），∴sin（2C﹣）∈（﹣，1]，∴f（C）=2sin（2C﹣）∈（﹣1，2]…12分19.（本小题满分14分）已知是定义在上的函数,其三点,若点的坐标为,且在和上有相同的单调性,在和上有相反的单调性.（1）求的取值范围；（2）在函数的图象上是否存在一点,使得在点的切线斜率为?求出点的坐标；若不存在,说明理由；（3）求的取值范围。参考答案：解：（1）

由题意得：在和上有相反的单调性

当时，的另一个根为

在和上有相反的单调性

由题意得：的三个不同根为

得

二个不同根为

综上得：

…………5分（2）假设在函数的图象上存在一点,使得在点的切线斜率为

则有解（*）

令

得：与（*）矛盾

在函数的图象上不存在一点,使得在点的切线斜率为

…………10分

（3）由（1）得：

…………14分略20.已知函数.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.参考答案：（1）当时，则，整理得即，解得（2）因为对任意的，恒成立，则整理得：对任意的，，所以，则略21.已知数列{an}满足a1=10，an=（n∈N*），其前n项和为Sn．（Ⅰ）写出a3，a4；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求Sn的最大值．参考答案：【考点】分段函数的应用；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段数列，先求a2，再去a3，a4；（Ⅱ）讨论当n为奇数时，运用等差数列的通项公式，当n为偶数时，运用奇数的结论，即可得到通项公式；（Ⅲ）分析奇数项和偶数项的单调性，可得到Sn取最大值时n为偶数．再由a2k+a2k﹣1≥0（k∈N*），求得k的最大值，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）因为a1=10，所以a2==210，a3=﹣1+log2a2=﹣1+log2210=9，a4=29．

（Ⅱ）当n为奇数时，an=﹣1+log2an﹣1=﹣1+log2=an﹣2﹣1，即an﹣an﹣2=﹣1．所以{an}的奇数项成首项为a1=10，公差为﹣1的等差数列．所以当n为奇数时，an=a1+（）?（﹣1）=当n为偶数时，an===所以an=（k∈N*），（Ⅲ）因为偶数项an=＞0，奇数项an=为递减数列，所以Sn取最大值时n为偶数．令a2k+a2k﹣1≥0（k∈N*），即211﹣k+≥0．所以211﹣k≥k﹣11．得k≤11．所以Sn的最大值为S22=（