辽宁省沈阳市第七十六中学2021-2022学年高二数学文联考试题含解析

辽宁省沈阳市第七十六中学2021-2022学年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：B【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC?sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选B．2.记确定的区域为,确定的区域为,在区域中每次任取个点,连续取次得到个点,则这个点中恰好只有个点在区域中的概率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．利用斜率计算公式可得tanθ=1，即可得出．【解答】解：设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==1，∴θ=．故选：B．【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是(

)A．2

B.

C.

D.参考答案：C5.已知函数的导函数的图像如右图，则（

）

函数有1个极大值点，1个极小值点

函数有2个极大值点，2个极小值点函数有3个极大值点，1个极小值点函数有1个极大值点，3个极小值点

参考答案：A6.2x2＋5x－3<0的解集为________________.参考答案：{x|－3<x<}7.函数是A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数参考答案：D8.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为（）A． B． C． D．参考答案：A9.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种参考答案：D【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解．【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种．故选D．10.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若P(ξ>2)=0.023，则P(－2≤ξ≤2)=A.0.477

B.0.628

C.0.954

D.0.977参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为

．参考答案：+y2=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义求出a，从而可得b，即可求出椭圆C的方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），∴2a=|PF1|+|PF2|=2．∴a=．又由已知c=1，∴b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．故答案为：+y2=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，正确运用椭圆的定义是关键．12.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为

。参考答案：解析：z===，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值。13.与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是

。参考答案：略14.将数字“34396”重新排列后得到不同的奇数的个数为

．参考答案：3615.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围……若精确到，至少运算次，则的值为

．参考答案：5.3略16.设等比数列的公比，前n项和为，则

参考答案：17.在半径为2的圆内有一个边长为1的正方形，若向圆内随机投一点，则该点落在正方形内的概率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知

求证：参考答案：证明：

，

略19.（本小题满分13分）

设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，在x轴负半轴上有一点B，且＝2．

（I）若过A，B，F2三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

（II）在（I）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在

x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果

存在，求出。的取值范围；如果不存在，说明理由．

参考答案：解：（Ⅰ），.又，.，.

所以过、、三点的圆的圆心为，半径为2c.由圆与直线相切，得.所以.所以.所以，所求椭圆方程为.………………（5分）（Ⅱ）设的方程为，代入椭圆方程，得.设，则，.，当能构成菱形时，，即，，即.，即.而.所以存在，使得为邻边的平行四边形为菱形.

………（13分）20.（12分）某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和

100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数（简称：近视度数）进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：近视度数0–100100–200200–300300–400400以上学生频数304020100

将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0-100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100-200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200-400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高度近视，记作3.（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；（Ⅱ）设，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量分别表示高二、高三年级学生的近视程度,若,求.参考答案：（Ⅰ）设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件………………1分则 ………………3分（Ⅱ）设该生近视程度达到中度或中度以上为事件

………………4分则

………………7分

法2：设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件

………………4分∵,

∴,∴,

………………6分∴

………………7分(Ⅲ)

………………9分………11分∵,

∴,∴.

………………12分21.已知数列中，，设．（Ⅰ）试写出数列的前三项；（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）设的前项和为，求证：．参考答案：（Ⅰ）由，得，.由，可得，，.

（Ⅱ）证明：因，故.显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即.

解得.

（Ⅲ）因为,所以又（当且仅当时取等号），故

略22.（本小题12分）等差数列中，，其前项和为.等比数列的各项均为正数，，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.参考答案：