四川省眉山市洪雅县实验中学2021年高二数学理期末试题含解析

四川省眉山市洪雅县实验中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.极坐标方程表示的曲线为（

）A．极点

B．两条相交直线

C．一条直线

D．极轴参考答案：B2.已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：A3.设，它等于下式中的（ ）A.

B. C. D. 参考答案：A4.在正方体中，直线与平面所成的角为，则值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C5.已知复数,则的值为(

)A.

B.1

C.

D.参考答案：B6.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时,f(x)=x-2．则(

)A．

B．

C．

D.参考答案：C8.命题“存在实数，使＞1”的否定是（

）A．对任意实数，都有＞1

B．不存在实数，使≤1C．对任意实数，都有≤1

D．存在实数，使≤1参考答案：C9.“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A10.在下列各数中，最大的数是（

）A．

B．C、

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知单位正方形，点为中点．设，，以为基底．表示：（1）__________；（2）__________．参考答案：（1）．（2）．（1）在，，，为中点，∴．（2）．12.正四面体棱长为，则它的体积是_________。参考答案：13.已知，则函数的解析式

．参考答案：略14.若是奇函数，则

参考答案：15.若椭圆经过点（2，3），且焦点为，则这个椭圆的标准方程为

.参考答案：16.已知，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是----______参考答案：略17.已知是偶函数，当时，，则当时，______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数⑴求它的最小正周期和最大值；⑵求它的递增区间.参考答案：

⑴，⑵由得要求的递增区间是.19.如图，棱长为1的正方体中，

(I)求证：平面；

(II)求证：平面；(IIl)求三棱锥体积．参考答案：略20.已知函数，（1）若，求函数的单调区间（2）当函数（为自然对数的底数），的最大值为时，求k的值.参考答案：（1）的单调递增区间为：；单调递减区间为：；（2）【分析】（1）首先求解出函数定义域，再利用导函数的正负确定函数的单调区间；（2）根据解析式可求得，可知的正负由的符号来决定；通过求得的最值，可知；则分别在、、三种情况下构造关于最大值的方程，求解得到结果.【详解】（1）由题知，函数定义域为，当时，令，则令，则的单调递增区间为：；单调递减区间为：（2）

令

，

即在上单调递减

时，①当时，

在上单调递增

②当时，，不符合题意③当时，

在上单调递减，不符合题意综上所述：【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间、根据函数最值求解参数值的问题，关键在于能够通过导数求得函数的单调性，根据函数单调性可构造关于函数最值的方程，从而使问题得以求解.21.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．参考答案：【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简bn，并判断出数列{bn}是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对Tn进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，an＞0因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3，即，所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或（舍去），又a1=2，所以数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由题意得，bn=11﹣2log2an=11﹣2n，则b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，故数列{bn}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，所以=﹣（n﹣5）2+25，所以当n=5时，Tn的最大值为25．22.设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值．（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣，联立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面积S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=﹣y2，∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，又点A在椭圆C上，∴=1，解得|x1|=|y1|=．此时点O到直线AB的距离．（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2）?，整理，得5m2=4（k2+1），∴点O到直线AB的距离=，综上所