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文档简介
2023年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
(1)已知z=(m+3)+(〃Ll)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数〃?的取值范围是
(A)(-3,1)(B)(-1-3)(C)(1,田)(D)(。,-3)
【解析】A
/n+3>0,zn-1<0,-3<w<1,故选A.
(2)已知集合人={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,XGZ],则A-8=
(A){1}(B){I,2}
(C){0,1,2,3}(D){-1,0,1,2,3}
【解析】C
R={x|(x+l)(x-2)<0,xez|={x|-l<x<2,xeZ},
8={0,1},AB={0,1,2,3},
故选C.
(3)已知向量“=(1,附,〃=(3,-2),且(£+3)J_B,则皿=
(A)-8(B)-6(C)6(D)8
【解析】D
a+b=(4,m-2),
':(a+b)lb,,(£+垃•1=12-2(m-2)=0
解得加=8,
故选D.
(4)圆f+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线以+y-l=0的距离为1,则a=
43
(A)--(B)--(C)6(D)2
【解析】A
圆好+/!-2》一8),+13=0化为标准方程为:(x-iy+(y-4)2=4,
.、|a+4-l|4
故圆心为(1,4),d==解得“=一,
Jtr+13
故选A.
(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24(B)18(C)12(D)9
【解析】B
EfF有6种走法,F—G有3种走法,由乘法原理知,共6x3=18种走法
故选B.
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)207t(B)247t(C)287t(D)327t
【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为/,圆柱高为心
22
由图得厂=2,=2兀「=4兀,由勾股定理得:/=J2+(2>/3)=4,
=7tr2+ch+-cl=4兀+16兀+8兀=28n
2
故选C.
(7)若将函数产2sin2x的图像向左平移已个单位长度,则平移后图象的对称轴为
(A)x=-----(左wZ)(B)x—---1—(左£Z)
2626
(C)X=-(jteZ)(D)x=—+—(fceZ)
212v'212v'
【解析】B
平移后图像表达式为y=2sin2(x+总,
令1=&兀+一得对称轴方程:x=—■H—(kGZ),
<12J226',
故选B.
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的
x=2,n=2,依次输入的〃为2,2,5,则输出的$=
(开始)
入X."/
1*
k0.J0
/输入Q/
/输中$/
(结束)
(A)7(B)12(C)17(D)34
【解析】C
第一次运算:s=0x2+2=2,
第二次运算:s=2x2+2=6,
第二次运算:5=6x2+5=17,
故选C.
,c、廿年13
(9)若cos[i_aj=1,则sinla=
故选D.
(10)从区间[0,1]随机抽取2〃个数百,*2,…,X,,M,%,…,%,构成"个数对(占,乂),(孙必),.•.,
其中两数的平方和小于1的数对共有,〃个,则用随机模拟的方法得到的圆周率无的近似值为
4/?/―、4m/—、2m
(A)(B)—(C)—(D)—
mmnn
【解析】C
由题意得:(苦,》)(,=1,2,在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在
如图所示的阴影中
n
由几何^型概率计算公式知4=生,7T=—,古攵选C.
n
1n
22
(11)已知G,F2是双曲线E:「一二二1的左,右焦点,点M在E上,M片与x轴垂直,sinZMF2Ft=^
crb-
则E的离心率为
3
(A)V2(B)(C)&(D)2
2
【解析】A
2>/2
sinM
离心率e=,由正弦定理得e
MF?_MFT
MF?-MF】sinF}-sinF2I--
3
故选A.
(12)已知函数〃x)(xeR)满足"r)=2-〃x),若函数y=三d与y=/(力图像的交点
X
为(占,yj,(》2,力),…,(/,%,),则2(占+凹)=()
1=1
(A)0(B)m(C)2m(D)4加
【解析】B
由-2-〃力得外力关于(0,1)对称,
而丁=土上=1+±也关于(。,1)对称,
xx
,对于每一组对称点大+年=0y,+y,,=2,
.立(七+»)=z%+zy=0+2—=故选B.
/=1/=!!=1乙
第n卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选
考题,考生根据要求作答.
4s
(13)△/铠(7的内角4,B,C的对边分别为“,b,c,若cosA=—,cosC=—,a=\,
513
贝3.
【解析】/21
.4厂5
.cosA=—,cosC=——,
513
sinA=-,sinC=—,
513
63
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=急,
由正弦定理得:上=,解得〃=可.
sin8sinA13
(14)尸是两个平面,m,〃是两条线,有下列四个命题:
①如果m_L〃,mLa,n//p,那么a_L/.
②如果〃z_La,n//a,那么机_L〃.
③如果。〃用,机ua,那么"2〃/.
④如果m〃“,a〃尸,那么,〃与a所成的角和〃与△所成的角相等.
【解析】②③④
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后
说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2",乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1",丙
说:“我的卡片上的数字之和不是5",则甲的卡片上的数字是
【解析】(1,3)
由题意得:丙不拿(2,3),
若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,
若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,
故甲(1,3),
(16)若直线y="+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=In(x+l)的切线,b=.
【解析】l-ln2
y=lnx+2的切线为:y=—x+lnx,+1(设切点横坐标为“)
]x~
y=ln(x+l)的切线为:y=------x+ln(x+1)----------
X)+12X,+1
1_1
%x2+1
InXj+1=In(x2+1)----
解得%=3
/.Z?=In+1=1-In2.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
S“为等差数列{4}的前〃项和,且4=1,S=28.记"=[吆《』,其中国表示不超过x的最大整数,
如[0.9]=0,[lg99]=l.
(I)求瓦,仇।;
(II)求数列也}的前1000项和.
【解析】⑴设的公差为d,S7=7^=28,
4
•e•a4=4,二—="3"=1,an=a,+(n—V)d=n.
•'«b、=[lg«,]=[lgl]=0,第=[lgq]=[lgll]=l,bm=[lga101]=[lgl01]=2.
⑵记出}的前"项和为T.,则—=仿+&+…+biaoo
=[lga,]+[lga2]+---+[lgal(K)0].
当OWlga,<1时,n-\,2,••,9;
当lWlga“<2时,〃=10,11,…,99;
当2Wlga“<3时,〃=100,101,…,999;
当1g4=3时,n=1000.
7;()00=0x9+1x90+2x900+3x1=1893.
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数0123425
保费a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数0123425
概率
(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,
P(A)=1-P(A)=1-(030+0.15)=0.55.
⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件3,
尸(A8)0.10+0.05
P(8|A)=2
P(A)0.55n
⑶解:设本年度所交保费为随机变量x.
X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
p0.300.150.200.200.100.05
平均保费
欧=0.85x0.30+0.15。+1.25。x0.20+1.5ax0.20+1.75。x0.10+2^x0.05
=0.2554+0.15a+0.25a+0.3a+0.115a+0.la=1.23a,
.•・平均保费与基本保费比值为1.23.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形488的对角线AC与8。交于点O,AB=5,AC=6,点E,尸分别在AD,C£>上,AE=CF=~,
4
EF交BD于点、H.'^^DEF沿EF折到△D'EF的位置OD=回.
(I)证明:平面ABC。;
(II)求二面角8—DA—C的正弦值.
【解析】⑴证明::人?二仃二』,
4
.AECF
AD-C5,
:.EF//AC.
:四边形/WCD为菱形,
:.ACLBD,
:.EFLBD,
:.EF1DH,
:.EFVOH.
AC=6f
/.A。=3;
又AB=5,AOVOB9
;.0B=4,
AP
・•・OH=——OD=l
AOf
:.DH=DH=3,
:.\OD^=\OHf+\D'f
:.D'HLOH.
义,:OH\EF=H,
:.。//_1面ABCO.
⑵建立如图坐标系H-xyz.
3(5,0,0),C(l,3,0),£>(0,0,3),A(l,-3,0),
LlUUnumLlUU
AB=(4,3,0),A»=(-l,3,3),AC=(0,6,0),
u
设面ABD,法向量〃]二(x,y,z),
八,"=3
AB=0p[4x+3y=0
由4得<,取心=-4,
n-ADf=0[r+3y+3z=0
11z=5
u
/.n}=(3,—4,5).
uu
同理可得面AD'C的法向量%=(3,0,1),
irini
9+5后
-icos(9i_^d_ii_7
11吗时572-71025
...2回
・・sm夕=-----.
25
(20)(本小题满分12分)
22
已知椭圆£:土+汇=1的焦点在x轴上,4是E的左顶点,斜率为%a>0)的直线交E于A,"两点,点N
t3
在E上,MA1.NA.
(I)当r=4,|AM|=|AN|时,求AAMN的面积;
(II)当21AMi=|AN|时,求”的取值范围.
22
【解析】⑴当r=4时,椭圆E的方程为三+匕=1,A点坐标为(-2,0),
43
则直线AM的方程为y=%(%+2).
£_+21=i
联立143"并整理得,(3+4公卜2+]6抬工+16标-12=0
y=k(x+2)
8女2-68/-612
解得x=_2或工=_坐一?贝MAM|=+2=J1+/.
3+4公3+4k23+4k2
因为A”_LAN,所以
因为=k>0,
/[।z,212_(J212
所以",i7^=+.,整理得小_0(4/_R+4)=0,
k
4公-%+4=0无实根,所以々=1.
所以ZVIMN的面积为;|4M「144
4?
⑵直线AM的方程为y=k(x+〃),
联立{t3并整理得,(3+tk2)x2+2ty/tk2x+rk2-3r=0
y=k(x+〃)
解得x=<或x=」山匕—3小
3+以/
所以\AM\=Jl+二一;"+A/7=+.6"
113+tk23+tk2
所以网.上]
3k+—
k
因为21AMi=HM
所以2,用了'•第F=成*,gr,整理得,七隼二手
3Z+,k-2
K
因为椭圆E的焦点在尤轴,所以f>3,即唯二3">3,整理得化+1)(人二2)
犬一2Ie-2
解得蚯“<2.
(21)(本小题满分12分)
Y—2
⑴讨论函数f(x)=-的单调性,并证明当%>0时,a-2)e'+x+2>0;
%+2
(H)证明:当ae[0,I)时,函数g(x)=更菱N(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为〃⑷,求函数/?⑷的
值域.
【解析】⑴证明:f(x)=^^ex
''x+2
/\
/,(x)=e<匕=士9:
卜+2("2)!(X+2)2
・・,当xe(-oo,-2)U(-2,+8)时,/'(x)>0
・・・/(九)在(_oo,一2)和(一2,+8)上单调递增
.•.x>0时,三|e">/(0)=-l
•**(x—2)e'+x+2>()
«G[0,1)
由⑴知,当%>。时,y(x)=:~的值域为(-1,+8),只有一解.
使得^~~~-=-a9re(O,21
r+2'」
当%w(0")时g'(x)<0,g(x)单调减;当x£(1,+co)时g'(x)>0,g(x)单调增
—2
%)=et-"t+il\)\=e'+(I7+l)什----2--,e-'/
t2t+2
记%(。=总,在re(O,2]时,&'(/)=⑺单调递增
;・Ma)"")©];,N,
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在正方形A8CZ),E,G分别在边DA,QC上(不与端点重合),且OE=OG,过。点作。尸_LCE,垂
足为F.
(I)证明:B,C,G,尸四点共圆;
(II)若AB=1,E为D4的中点,求四边形8CG/的面积.
【解析】(I)证明::DFLCE
:.RtADEF^RtACED
J4GDF=ZDEF=/BCF
DFCF
~DG~~BC
VDE=DGfCD=BC
.DF_CF
^~DG~~BC
:./\GDF^/\BCF
:.4CFB=NDFG
,ZGFB=Z.GF
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