高中数学312复数几何意义课件3新人教版选修122dx

3．1.2复数的几何意义学习目标理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．掌握实轴、虚轴、模等概念．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知能优化训练课前自主学案3．1.2复数的几何意义课堂互动讲练课前自主学案温故夯基1．复数的代数形式为

，2．“a＝0”是复数a＋bi为纯虚数的必要不充分条件，“b＝0”是a＋bi为实数的充要条件(a、b∈R)．

3．若两个复数2a＋bi>a＋2bi则a为正数，b为

0

.－1ai＋为b虚i(a数、单b∈位R，)

i2＝

.1．复数的几何意义

(1)复平面的定义建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知新益能(2)复数与点、向量间的对应复平面建立以后，复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，连结OZ，并把方向指向Z，得到向量→，则点Z(a，b)又与向量→一一对应，因此OZ

OZ我们可以根据需要把复数写成点的形式或向量的形式，向量→与点Z

都是复数z＝a＋bi

的几何表示．OZ复数z＝a＋bi

与点Z(a，b)及向量→是一一对应关系．OZ2．复数的模如图，向量→的模r

叫做复数z＝a＋bi

的模，OZ是一个实数

a，它的模等于|a|(就是

a

的绝对值)．

由模的定义可知：

|z|

＝

|a

＋

bi|

＝

r

＝记作

|z|_或

.如果

b＝0，那么

z＝a＋bi(r≥0，且r∈R)．|a＋bi|a2＋b2问题探究1．复平面内一个向量的终点对应的复数就是该向量对应的复数吗？提示：不一定，只有向量的起点在原点时，其终点对应的复数才是该向量对应的复数，否则，二者不相同．2．若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|表示怎样的意义？提示：|z|＝

a2＋b2，表示点Z(a，b)到原点的距离．课堂互动讲练复数的几何意义复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内的点一一对应；(2)复数与复平面内的向量一一对应．考点突破在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．例1【思路点拨】

法一：复数→点的坐标→中点坐标公式→D点坐标→D对应复数法二：复数→向量→向量运算→→

OD

→D对应复数【解】

法一：由已知

A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC

的中点E(2，3)，2由平行四边形的性质知E

也是BD

的中点，设D(x，y)，则x＋12＝2y＋023＝2，∴x＝3y＝3.即D(3,3)，∴D

点对应复数为3＋3i.→

→→∴

→

→∴

→

→

→∴

→

→

→法二：由已知：OA＝(0,1)，OB＝(1,0)OC＝(4,2)．BA＝(－1,1)，BC＝(3,2)，BD＝BA＋BC＝(2,3)，OD＝OB＋BD＝(3,3)，即点D

对应复数为3＋3i.【思维总结】

求一个点对应的复数就是求该点的坐标，可以借用向量的坐标运算，本题中ABCD顺序一定，只有一种答案．互动探究1

若本例条件不变，求由A、B、C、D点构成的平行四边形的D点对应的复数．解：由以上解答可知，若以AC

的中点为平行四边形的中心，则D

点对应复数为3＋3i，若以

AB

的中点

M

1 1

为平行四边形中心，(2，2)设D点(x1，y1)，则x1＋421＝2y1＋221＝2，解得x1＝－3y1＝－1，∴D(－3，－1)，对应复数为－3－i.若以BC

中点N

5，1)为平行四边形中心(2设D

点(x2，y2)则x2＋025＝2y2＋12＝1，解得x2＝5y2＝1.D(5,1)，对应复数为5＋i.综上可得，D

点对应的复数为3＋3i

或－3－i

或5＋i.求复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|，就是求z对应的点Z(a，b)到原点的距离．复数的模11求复数z

＝3＋4i，z2＝－2－2i

的模，并比较它们的大小．例2【思路点拨】

计算复数的模，应先找好复数的实部、虚部，然后用求模公式计算．【解】

|z1|＝

32＋42＝5，2|z

|＝

(31－2)2＋(－

2)2＝2.3∵5>2，∴|z1|>|z2|.【思维总结】

复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数的模可以比较大小．互动探究2在本例中，若复数z3

的模为12|z

|，且OZ3→

→1

3∥OZ

，求复数z

.解：→＝(3,4)，OZ1∵

→

→→OZ3∥OZ1，∴OZ3＝λ(3,4)(x≠0)．又|z3|＝2|z1|＝10，∴

9λ2＋16λ2＝10，∴λ2＝4，∴λ＝±2.∴

→

→3OZ3＝(6,8)或OZ

＝(－6，－8)，∴z3＝6＋8i

或z3＝－6－8i.结合向量的模转化复数的模．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.【思路点拨】

利用模的意义，或转化为实数x、y应满足的条件．复数模的意义及应用例3【解】

法一：(1)复数

z

的模等于

2，这表明向量→OZ的长度等于2，即点Z

到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2

的点Z

的集合是以原点O为圆心，以2

为半径的圆．(2)满足条件|z|≤3

的点Z

的集合是以原点O

为圆心，以3

为半径的圆及其内部．法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．【思维总结】

法一：根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．互动探究3

本例条件不变，|z－i|＝1表示什么图形？解：表示动点Z与定点(0,1)之间的距离为1，即表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆．方法技巧1．复数的两种几何意义由于复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点Z(ab)以及平面向量→都是一一对应的，即：OZ方法感悟这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．

2．复数的模复数

z＝a＋bi(a、b∈R)的模