余弦定理教案

余弦定理教案余弦定理

课型:新知课上课时间：5月16日

教学目的：

1、把握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法。

2、会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。

3、培育学生在方程思想的指导下解三角形问题的力量。重难点分析

重点：余弦定理的发觉和证明过程及其根本应用。难点：由勾股定理及向量的数量积发觉余弦定理。学前分析：

余弦定理是初中学习勾股定理同角的推广，也是前阶段学习三角函数与平面对量学问在三角形中的交汇应用。课前预备：

多媒体课件、电脑、投影仪教学设计：

一、新课引入

生活实例：隧道工程设计

提出问题：①如何求出隧道的实际长度？②用正弦定理能否求出其长度？

③用平面对量的数量积能否求出其长度？

二、探究讨论，引出定理

1、化归：已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边，即在ABC中，已知AB=C，AC=b，A=A，求a。

2、探究：

由BCBAAC则BCBCBAACBAAC即BCBA2BAACAC

2=BA2BAACcosAAC222

=c2-2bccosA+b2

a2=c2-2bccosA+b2同理可得：b2=a2-2accosB+c2

c2=a2-2abcosC+b2余弦定理文字表述：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边的它们夹角的余弦的积的两倍。

三、例题讲解：

eg1：在ABC中，a=1，b=2，c=120°求c的值。解：由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosc即c2=12+22-2×1×2×cos120°=7c=7练习：在ABC中，已知b=8，c=3，A=60°求a问题:已知三角形的边长，如何求出其三个内角？余弦定理的变式

b2c2a2cosA

2bca2c2b2cosB

2aca2b2c2cosC

2aceg2：在ABC中，已知a=22，b=23，c=62，求三内角A、B、C。

解：由余弦定理可知

b2c2a2(23)2(62)2(22)22cosA2bc2223(62)

A45

a2c2b21cosB

2ac2B60

从而C180(AB)75变式练习：

1、若例1中条件不变，如何求出A、B？

2、在不等边ABC中，a为最大边，且a2b2c2，求A的范围。

四、课堂小结

1、余弦定理是任何三角形之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.2、余弦定理有两个根本应用：一是已知两边及它们的夹角，求第三边,二是已知三边求角.五、布置作业

1、平行四边形两角邻边的长分别为46和43，它们的夹角为45，求这个平行四边形的两条对角线的长与它们面积。

2、在ABC中，已知a84,b56,c74，求A及SABC

3、课外思索：

余弦定理和正弦定理反映了三角形边、角之间的度量关系，本质上是全都的，你能证明这两个定理是等价的吗？

其次篇：余弦定理教案

《余弦定理》教学案例

天印高级中学张梅

一、教材分析及设计思路

1、教材分析

“余弦定理”是全日制一般高级中学教科书（数学必修5）第一章第一节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般学问和平面对量学问在三角形中的详细运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的其次节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的学问的承受者，而是主动的、积极的学问的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思索，参加学问获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习稳固旧学问，使学生把握新的有用的学问，体会联系、进展等辩证观点，而且能培育学生的应用意识和实践操作力量，以及提出问题、解决问题等讨论性学习的力量。

2、设计思路

依据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探究和提出数学问题作为教学的动身点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为学问的“发觉者”和“制造者”，使教学过程成为学生主动猎取学问、进展力量、体验数学的过程。依据上述精神，做出了如下设计：

（1）创设一个现实问题情境作为提出问题的背景

（2）启发、引导学生提出自己关怀的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，提醒解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探究解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边

（3）为了解决提出的问题，引导学生从原有的学问阅历中“生长”出新的学问阅历，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进展严格的规律证明。证明时，关键在于启发、引导学生如何将向量关系转化成数量关系

（4）由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题

教学目标：

1、把握余弦定理及其证明方法；

2、会运用余弦定理解三角形；

力量目标：

培育学生推理探究数学规律和归纳总结的思维力量，以及观看、分析、类比、计算力量；

德育目标：

通过学问间的联系，表达事物的普遍联系与辩证统一；

教学重难点：

余弦定理的推导、证明及应用；

教法学法：

教师的“引导式教学”和学生的“讨论性学习”相结合二、教学过程

Ⅰ、设置情境

自动卸货汽车的车箱采纳液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如下列图），已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为

1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40m，计算BC的长（保存三个有效数字）。

Ⅱ、提出问题

师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

能，在三角形ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长。

师：能用正弦定理求解吗？为什么？

不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。

师：这个问题的实质是什么？

在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

III、解决问题

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？先从特别图形入手，寻求答案或发觉解法。（特别化）

可以先在直角三角形中摸索一下。

直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图

3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师：垂足D肯定在边BC上吗？

不肯定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。

（分类争论，培育学生从不同的角度讨论问题）

在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC,CD＝ACcosC即AD＝bsinC,CD＝bcosC

又BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

∴c2=(bsinC)2+(a-bcosC)

2=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C

=a2+b2-2abcosC

同理a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC,CD＝-bcosC，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

∴c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2

=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C

=a2+b2-2abcosC

同理a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

同理可证a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

师：大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么？

IV、反思应用

师：同学们通过自己的努力，发觉并证明白余弦定理。余弦定理提醒了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

师：请同学们用余弦定理解决本节课开头时的问题。

（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得BC≈1.89(m)

答：顶杆BC约长1.89m。

师：大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？

不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。

师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？

已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。稳固练习：课本第9页练习2、3、4三、教学反思

本课中教师立足于所创设的情境，通过学生自主探究、合作沟通，亲身经受了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发觉者”和“制造者”，切身感受了制造的苦和乐，学问目标、力量目标、情感目标均得到了落实。

第三篇：余弦定理

余弦定理（第一课时）

一、课例与分评

（一）教学目标

1．使学生把握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；

2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决详细问题；

3．通过启发、诱导学生发觉和证明余弦定理的过程，培育学生观看、分析、归纳、猜测、抽象、概括等规律思维力量；

4．通过发觉教学法，培育学生学习数学的兴趣和喜爱科学、献身科学、勇于创新的精神。

[点评：学问目标分级具体、适当，力量目标和德育目标详细，并且有很强的针对性，这是上好一节课的前提条件]

（二）教学重点、难点

重点：余弦定理及其发觉和证明。

难点：余弦定理的证明。

关键：建立适当的直角坐标系。

（三）教具

三角板，投影仪，投影片1、2

[点评：重点、难点、关键抓得准，才能在教学过程中实行有效的措施，突出重点、突破难点，从而实现教学目标]

（四）教学过程

1．复习提问

T（师，下同）：表达任意角的三角函数的定义。（在黑板上作图1）

S（生，下同）：sinyr,cosxr,tgyx,ctgxy,secyr,csery，它们分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。

2．发觉

T：请同学们考虑并答复下面的问题：

在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可求其余元素？

S：两个元素。

T：是否有不同的意见和补充？

S1：其中至少有一边。

T：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的，那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？

[点评：由于现在学生还不会求斜三角形的其余元素，因而说确定这个三角形是恰当的，可见，教者对于教学语言是进展了认真斟酌的，这对于一名青年教师来说是难能珍贵的。]

S2：三个，其中至少有一边。

T：已知两边一夹角，三角形能否确定？说明理由。（在黑板上作图2）

S3：能，依据三角形全等的SAS的判定定理。

T：既然在这样的条件下三角形是确定的，那么，其余元素，比方第三边与已知的两边

一夹角肯定存在着某种必定的联系，让我们从特别的三角形——直角三角形入手，来讨论这个问题（出示投影片1）

T：问题1假如已知a、b怎样求斜边c？

S：勾股定理：c2a2b（*）

T：问题2若已知b、c及∠A，怎样用它们表示直角边？

S：（困惑，期盼）

T：受（*）式启发，a与b、c之间仍旧存在着“平方和”关系：

a2c2b2构造平方和a2c2b22b2引入角Aa2c2b22bcosB①

T：想一想，若已知a、c及∠B，怎样用其表示b？

S：b2a2b22bccosB

②

T：能否将（*）式也写成①、②的形式？

S：能c2a2b22abcosC

③

T：太好了！明显①、②、③三个等式的构造一样，这是巧合吗？（稍停，语气加重地）不，这是我们发觉的一个客观规律！

S：（惊异转而兴奋）

[点评：教师恰当的点拨：构造平方和、引入角A，立刻起到峰回路转、柳暗花明的作用，怎能不引起学生的共鸣！一节好课应当像一首乐曲一样，高潮迭起，课进展到这里进入了第一个高潮。“我们的发觉”更震憾着学生的心灵，把学生的留意力牢牢地吸引住了。]

T：你能否用方案语言表达这一规律？

S3：直角三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。

[点评：这是为学生深刻理解和把握余弦定理所做的必要的铺垫。]

T：很好！得出了这一规律以后，你想到了什么？

S：它在余三角形中是否也成立。

T：太棒了！我特别快乐地告知大家，你们的这个猜测是正确的，这就是我们这节课学习的重要定理——余弦定理（板书课题）

[点评：依据勾股定理和余弦定理的关系，反余弦定理的引入处理成在直角三角形中的“发觉”过程，并用恰当的语言鼓励学生合理猜想，有利于培育学生学习数学的兴趣和制造力量。]3．证明

T：下面我们来证明余弦定理，余弦定理的证明有多种方法，你能想到哪些方法？

S4：作一个已知边的高，利用直角三角形证明。

S5：在直角坐标系中证明

T：对于S4的方法，若三角形是锐角三角形，则任意边的高均在三角形内，而三角形是钝角三角形（在黑板上作出图2），则夹钝角的两边上的高均在三角形外，因而需要争论这两种状况，同学们可在课后一试，对S5的方法，我们为坐标法，它是处理几何问题的一种常用的重要方法，下面我们用坐标法来证明余弦定理，想一想，用坐标法证明，你应当先做什么？

[点评：教师指出了余弦定理证明方法有多种，而学生只想到了两种，教师就此加以点拨，并没有追求其他证法，可谓把握有度，突出了重点。]

S：建立直角坐标系

T：你怎样建立直角坐标系？为什么？

S6：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系，似乎前面一些三角公式的推导，也是这样建立直角坐标系的。

T：对，其实这样建立直角坐标系，可使A、B、C三点坐标简单表示，为下面的证明带来便利，（在图2中建立直角坐标系变为图3），请你指出A、B、C各点的坐标。

S7：A(0,0)B(ccossA,csinA)C(b,0)

T：很好!你能否证明下去？（指向图3）

[点评：教师通过自然语言和形态语言的启发，使学生豁然开朗，看到了成功的曙光，也预示着又一个高潮的到来。]

S7：由两点的距离公式有a|BC|c(cos22(cosAb)(csinA)222Asin2A)b2bccos

2bc2bccosA

2两边平方，得a2b2c22bccosA

T：这就是等式①，若分别以B、C为原点建立相应的直坐标系（出示投影片2），则会得出怎样的等式？

S：bac2accosB

cab2abcosC

T：以上两个等式分别为等式②和③，于此，我们证明白等式①②③在斜三角形中也成立，即余弦定理得到了证明，（用彩笔将等式①②③框起来）请你用文字语言表达余弦定理。

S：（任意）三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。

[点评：前面已经概括了直角三角形中的全系统定理，这里产东只是对它的推广，更不是对它的简洁的重复，而是对它的强化，这是非常必要的。]

4．剖析

T：请问，勾股定理与余弦定理有什么关系？

S9：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。

T：余弦定理共有三个等式，每个等式都有同一个三角形中的四个元素，那么余弦定理的作用是什么？

S10：已知三角形中的三个元素，可用余弦定理求其余元素。T：是否有不同的意见？

S11：三个元素中至少有一边（点评者注：这时三角形是确定，但不肯定能用余弦定理222222解决）

S12：不对，三元素中至少有两边。T：还有吗？

S13：已知三个元素应是两边夹一角，或三边

S14：已知两边和一边对角应当也能用余弦定理求出其他元素。T：为什么？S14：„„

T：S14的见解是否正确还不得而知，但是很有价值，我们以后会讨论这个问题。S13说出了余弦定理的两种不怜悯况的用途，那么已知三边如何求角？

cosAbca2bcabc2ab222222,cosBacb2ac0222,S15：用cosC

(或C180AB)T：这是余弦定理的三个变形，与余弦定理的三个等式同样的重要。

[点评：教师恰到好处的启发，把课堂气氛又推向了一个新的设法通过学生的发言、争辩，剖析了余弦定理中各个元素之间的内在联系与制约关系，辩明白余弦定理的用途这是对所学余弦定理的学化，是培育学生综合运用学问的力量的重要途径，同时，也触及了更深刻的S14所提出的问题，课后思索题的提出也在情理之中了。]5．应用

T：请看投影屏幕，应用余弦定理解决几个问题，计算时可以用计算器。

[显示]：（1）在ABC中：

（i）已知b=8,c=3,A=600,求a；

（ii）已知a=9,b=10,c=15,求A；

（iii）已知a=20,b=29,c=21,求B；

（2）已知ABC中，已知a=2,b=31C300求c及A、BS16:（i）a=7,（ii）900，（iii）3535S17：c2,A45,B105

000/6．小结

T：本节课我们学习了一个特别重要的定理——余弦定理。

（1）请同学们把握余弦定理，会娴熟地运用它解决已知三角形两边夹一角和三角形三边求其余的边和角的问题。

（2）我们用坐标法证明白余弦定理，请同学们要理解这个证明过程，要逐步学会运用坐标法。

（3）我们运用了由特别到一般的方法，“发觉”了余弦定理，这种方法是人们熟悉客观世界的一种原方法，也是数学发觉的重要方法之一，我们要逐步学会擅长运用这各方法去探究数学问题，提高我们的制造力量。

[点评：教学过程中已把教学目标落到了实处，小结又紧扣教学目标，与教学过程遥相照应，使教学目标深入人心，可称得上是“点睛”之笔。]7．作业

（1）课后讨论题：已知三角形的两边和其中一边的对角，能不利用余弦定理求出其余的边和角？给出一个令你自己满足的结论。

（2）略

[点评：好一个“给出一个令你自己满足的结论”！虽然学生的教学水平和力量存在着判别，但是，每个人都能够力所能及地获得“令你自己满足的结论”，这正符合素养教育的要求，设置这样一个开放的问题，不仅能够激发学生为解开这个悬念之谜而探究、求知的热忱，从而，最大限度地开发每个学生的潜能和才智，而且能够使学生在探究的过程稳固所学学问，也为下一节课埋下了一个伏笔（定义解斜三角形和敏捷应用余弦定理），可谓一举多得。]

二、总评

1．教学设计思路清爽、引人入胜

“发觉法”是常用的一种教学方法，然而，用“发觉法”设计“余弦定理”一课者，并不多见，本课从直角三角形动身，以归纳——猜测——证明——应用为线索，通过提问、启发和点拨，把规律和方法以生动、活泼的形式呈现在学生面前，而呈现的过程入情入理，自然流畅，引人入胜，剧烈地感染着学生积极主动地猎取学问，使学生的主体地位得到了充分的发挥。

2．课堂教学气氛活泼，高潮迭起

本课充分表达了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，以祥和、公平的态度启发学生，让学生充分发表意见，使学生真正成为学习的仆人，因而，人人都开动脑筋，积极思索，发言踊跃、归纳、猜测是师生共同合作的结晶，从而有了“我们的发觉”，而“我们的发觉”又使学生联（猜）想，“它在斜三角形中是否成立？”至此，余弦定理呼之欲出！余弦定理的证明和剖析，也是在教师的点拨下完成的，并且通过争辩，辨明白余弦定理的作用，其间，有困惑、期盼，有兴奋、有惊异，时而山穷水尽，时而柳暗花明，课堂气氛高潮迭起，扣人心弦。

3．教学目标贯彻到位，把握有度

教学目标是教学的动身点、立足点和归宿，教者较精确地确定了教学目标，并围绕教学目标实施教学过程，突出了对学生综合素养的培育，从余弦定理的发觉、证明到应用的过程中，充分调动了学生眼、耳、脑、手等各个器官积极协调作用，对于教师、黑板、投影屏幕等传递来的学问住处和智能信息，进展积极、有效地加工处理，形成了新的认知构造，使学生的观看、识别、分析、归纳、猜测、抽象、概括等思维力量得到了熬炼和提高，根本到达了实现了情感目标，对于余弦定理的证明，教者并没有刻意去追求“多法”，而是着眼于教学目标，突出了重点，课后讨论题的提出尽在情理之中，对于学生讨论结果的要求也颇有新意，人人都会有“令你自己满足”的讨论成果，这不仅能够不同程度地开发学生的潜能，又使教学内容得以稳固和延长，综上所述，本课教学目标贯彻到位，把握得恰到好处。

这是宁波市特级教师带徒活动的一节学员学习汇报课实录（略有改动），虽然课堂实践中尚有欠缺，但仍有很多可圈点之处，不失为一堂好课，受到了专家们的好评。

摘自[中学数学教学参考]2023-3

第四篇：余弦定理

必修5第一章:解三角形编者：审核：班级：姓名：时间：

第三课时余弦定理

学习目标:1.把握余弦定理的两种表示形式；2.把握证明余弦定理的向量方法