动量定理守恒定律

§2-3

动量定理 动量守恒定律一、动量质点的动量

P

=

mv讨论：1）动量是描写运动状态的量，是状态的单值函数；2）动量是矢量；3）动量有相对性（因为速度与参照系有关）。当力在一段时间内对物体持续作用时，需要讨论力的时间累积效应。二、质点的动量定理重写牛顿第二定律的微分形式dt考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分F

=

dp上式左边定义为力F

从t1

时刻到t2

时刻的冲量：1t

t2

I

=

F

d

t于是得到积分形式动量定理：质点在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该质点动量的增量。动量冲量状态量过程量动量定理是过程量和状态量增量的关系。tt12

Fdt

=

p2

-

p1I

=

p

=

mv2tt1

I

=

Fdt方方向，而是冲量

的所有元冲量向一般不是某一瞬量的合矢时力

的的方向。讨论1)冲量的方向：p1p2pDp由动量定

理可知：冲量的方向与动量增量方向相F

d

t同。即

I的方向与

D的方向相同。I帆船逆风行驶就是例证。船帆a航向风v0v0vDvF

'

F

'

=

-F风从与船航向成a角方向吹来，设风的初速v0，由于帆的作用，风的方向一致，风给帆的作用力方向改变，大小几乎不变，根据动Dv量定理，风受帆的作用力

F与F

'在船航行方向的分量推动船前进。v2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程ttx1xx

2

x21F

d

t

=

mv

-

mvI

=tt2y1

y2

yyF

d

t

=

mv

-

mvI

=11zFz

d

t

=

mv2

z

-

mvtt2zI

=1动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。动量定理在处理变质量问题时很方便。5)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均冲力。t2t1t-FF打击或碰撞，冲力F的方向保持不变，曲线与t

轴所包围的面积就是

t1

到

t2

这段时间内力的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均冲力。将积分用平均冲力代替DtDP平均冲力：F

=

Fdt

=

F

Dtt2t1例汽车以恒定速度u相对于地面平动，车内水平桌面上有一小球，小球的速度由v1

v2变

为

，以地面和车分别为参考系写出动量定理。umv1v2以车为参考系，小球动量的改变以地面为参考系，小球动量的改变*例1

质量为

m

的小球在水平面内作速率为v

的匀速圆周运动，试求小球在经过四分之一圆周的过程中，所受到的冲量。解：由动量定理，所受冲量I

=

Dp=

p2

-

p1I

的大小为：

A0B1pp2p1ap2Dpx1

2p

=

p4a

=

-

3

πI

=

p2

+

p2

=

2mv1

2I

的方向：例2列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为a。假设列车与轨道间的摩擦系数为m,列车相对于地面的运动速度v2保持不变,求机车的牵引力F。解：车和煤为系统,如图建立坐标系。tfi

t+dt

时刻，dm

=adtv1v

2xy竖直方向水平方向1vv

2xNy*例3一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t

(SI)34

·105F

=

400

-子弹从枪口射出时的速率为300m/s，假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t解(1)4

·105F

=0

即400

-\

t

=

0.003(s)t

=

03t

(SI)34

·105F

=

400

-I

0.6-3m

=

=

=

2·10

(kg)

=

2(g)v

300=

0.6(N

s)（3）子弹的质量mI

=

m

v

-

04

·10520t

=0.003Fdt

=

(400t

-t

)6tI

=（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I本周作业：1-13、1-16、1-21.求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量。解：由冲量定义有例4

一质点受合外力作用，外力为(SI)根据动量定理大小方向1.质点系：三、质点系的动量定理在质点动量定理的基础上，讨论两个或两个以上物体组成的系统的动量定理，导出动量守恒定律。(以由两个质点组成的质点系为例)内力:系统内部各质点间的相互作用力;特点:成对出现；大小相等方向相反;结论：质点系的内力之和为零.

fij

=

0i质点系的重要结论之一m2m1由有相互作用的质点组成的系统。

F1F2f12f212.系统动量定理将动量定理分别用于这两个物体得：F121112p10=

p1

-tt(F

+

f

)dt

212

21p20(F

+

ftt外力:系统外部对质点系内部质点的作用力.对m1对m2将上两式相加，根据牛顿第三定律：f12

+

f

21

=

0

m2m2)dt

=

-

Fp2f1

12f21t21(F1

+

F2

)dt

=

(

p1

+

p2

)

-

(

p10

+

p20

)t

系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量，称为系统动量定理。思考：什么力可改变质点的动量?什么力可以改变系统的总动量?用质点系动量定理处理问题的方便之处在那里？可得:将上式推广到多个质点组成的系统将系统内任一质点受

力之和写成Fi

+

fi对mi

使用动量定理：Fi表示第i个质点所受外力之和;fi

表示第i个质点所受内力之和;t

2t1

t1t

2

Fidt

+

fidt

=

pi

-

pi

0对所有质点求和：t2t2i

t1

t1

i

(

Fi

dt

+

fi

dt

)

=

(Pi

-

Pi

0

)t2t2

Fi

dt

+

fi

dt

=

(Pi

-

Pi

0

)i

it1

t1i

——外力冲量之和ittif

dt21ittiF

dt21——内力冲量之和化简上式：由于每个质点的受力时间dt

相同，所以：t2t2i

t1

t1

iFidt

=(Fi

)dt

将所有的外力共点力相加F外=

Fiit2t1

t1it2

Fidt

=

F外dt再看内力冲量之和同样，由于每个质点的受力时间dt

相同，所以：t2t1

fi

dtit2t2

fidt

=(

fi

)dt

i

t1

t1

i因为内力之和为零：

fi

=

0i内力的冲量之和为零t2所以有：

fidt

=0t1i----质点系的重要结论之二ii

i0ii0miυii

i0

P

=

mυP

=Pi

=P

=最后简写右边，令：质点系的动量定理为（积分形式）t2t2i

iit1

t1

Fi

dt

+

fidt

=

(Pi

-

Pi

0

)

1t2if

dt

=

0ti221

1ttittiF

dtF

dt

=左边

外1t2t

F外dt

=P

-P0四、动量守恒定律系统动量原理当上式称为动量守恒定律。结论：当系统不受外力或合外力为零时，系统总动量在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一条重要而又具有普遍性的定律。210tt

F dt

=

P

-

P外=恒量

Fi

=

0

时，

则有

P

=P0i

i近似地认为系统动量守恒.例如在碰撞,打击,爆炸等问题中.当

Fi

<<

fi

时，可略去外力的作用,

Fi=

0讨论：1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的,各物体的动量必相对于同一惯性参考系.2）系统动量守恒条件：合外力为零若某一方向合外力为零,则此方向动量守恒.当

Fx＝0

时，有

px

=

px03）如果合外力在某一方向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。当

Fy＝0

时，有

py

=

py04）动量守恒定律是一条最基本、最普遍的定律，无论宏观还是微观领域都可以使用。5）用守恒定律作题，注意分析过程、系统和条件。*例5

两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直线上运动。A的动量表达式pA

=

pA0

-

bt

,pA0和b为常量。（1）开始时B静止，求B的动量；思考：在系统的动量变化中内力起什么作用？有人说：因为内力不能改变系统的总动量，所以不论系统内各质点有无内力作用，只要外力相同，则各质点的运动情况就相同。这话对吗？pB

=

pA

-

pA0

=

bt（2）开始时B的动量为-pA0

，求B的动量pA0

+(-

pA0

)

=

pA

+

pBpB

=

-

pA

=

-

p0

+

bt解：把A、B作为系统，系统在水平方向受合外力为零，故该方向动量守恒pA0

+

pB

0

=

pA

+

pB*例6

如图所示,设炮车以仰角q

发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹相对于炮车的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间解：把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖q的摩擦力不计。vMG直方向上的外力有重力

和地面支持力N水平分量为根据水平方向动量守恒定理有炮弹相对地面的速度为炮车的反冲速度为讨论：系统动量是否守恒?u