第四章 §4.1 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-高中数学人教A版必修一 课件（共24张PPT）

4.1.2无理数指数幂及其运算性质第四章

§4.1指数学习目标1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质.(重难点)导语牛顿(Newton,1643－1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将

…写成

，

，

，…，将

…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程.一、无理数指数幂的运算二、实际问题中的指数运算三、实数指数幂的综合运用随堂演练内容索引无理数指数幂的运算

一问题1阅读课本108页的探究，你发现了什么？提示可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应.问题2指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示正整数指数幂和0次指数幂→自然数指数幂和负整数指数幂→整数指数幂和分数指数幂→有理数指数幂和无理数指数幂→实数指数幂.1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的

.2.实数指数幂的运算法则(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).(4)拓展：

＝ar－s(a>0，r，s∈R).知识梳理实数注意点：特别强调底数a>0，如果a<0，比如

，无法判断其值是1还是－1.例1

计算下列各式的值：(1)；原式＝

＝29×32＝4608.(2)(a>0)；原式＝

＝a0＝1.(3).原式＝

＝π.反思感悟关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.跟踪训练1

计算下列各式的值(式中字母均是正数)：(1)；原式＝

＝26·m3＝64m3.(2).原式＝

＝a0＝1.实际问题中的指数运算

二例2

从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒___次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.4所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.反思感悟指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.跟踪训练2

如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成_____个.64经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个).实数指数幂的综合运用

三例3(1)如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝______.1由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，所以2x＋y＝1.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①；设m＝

，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即

＝3.②x2－x－2.设n＝

，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，延伸探究本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值.由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.反思感悟利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.x2＋x－2＝(x±x－1)2

∓2，x＋x－1＝

，

.跟踪训练3√课堂小结1