微积分下第七章

一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结第二节二重积分的计算如果积分区域为：a

£

x

£

b,j1

(

x)

£

y

£

j2

(

x).一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］ay

=

j2

(

x)Dy

=

j1(

x)b

bay

=

j2

(

x)Dy

=

j1(

x)其中函数j1

(x)、j2

(x)在区间[a,b]上连续.X-型区域的特点：穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

f(x,y)ds

的值等于以D

为底，以曲面z

=Df(x,y)为顶的曲顶柱体的体积．(f(x,y)‡0)zyx0A(x

)z

=

f

(x,

y)y

=

j1

(x)应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,y

=

j2

(x)

Dbaf

(

x,

y)dy

.j

2

(

x

)j1

(

x

)f

(

x,

y)ds

=

dx得a0xb(先积一条线,后扫积分域)

Ddcf

(

x,

y)dx

.j

2

(

y

)j1

(

y

)f

(

x,

y)ds

=

dy

如果积分区域为：c

£

y

£

d

,j1

(

y)

£

x

£

j2

(

y).［Y－型］

x

=

j2

(

y)x

=

j1

(

y

)Dcdcd2x

=

j

(

y)x

=

j1

(

y

)DY-型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Df

(x,

y)

dx

d

yy

=

j2

(x)yDb

xo

ax

=y

1(

y)x

=y

2

(

y)dc说明:(1)

若积分区域既是X–型区域又是Y则有–型区域,xy

=

j1(x)yf

(x,

y)

d

y2j

(

x)j1

(

x)=bd

xf

(x,

y)

dx2y

(

y)y

1

(

y)adc=

d

y

注:对y先积分时,做平行于y轴的任意直线穿过D,它与D的边界曲线交于两点,这两点y的坐标就是y的上下限.后积分的上下限为常数.oxy为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.2DD3=1+

D

+

D2

3DD

(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,

则

D1例1

求(x2

+y)dxdy，其中D

是由抛物线Dy

=x2和x

=y2所围平面闭区域.解两曲线的交点2

(0,0) ,

(1,1),x

=

y

y

=

x2D(

x2

+

y)dxdy

=10x2x(

x2

+

y)dydx102=2

140[

x

(

x

-

x2

)

+

1

(

x

-

x4

)]dx

=

33

.x

=

y2y

=

x2x

=

y2y

=

x2例2：计算D

xyds

,其中D

是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,xy

dxD\xyd

s2dy-1=2-12

1

x2y

y+2

dy=

y22=

12

2

5[y(y

+

2)

-

y

]

dy-1D=

xy

=

x

-

22

y

2-1oy4

xy

y2

£

x

£

y

+

2D:

-1

£

y

£

22yy

+

2及直线则Dx例3：

计算

sinx

dxdy,其中D

是直线oyy

=

xD

x

=x0

£

y

£

xD:

0

£

x

£

pDsinx

x\x0dy0sinxdx==

20psinxdxxpdxdy

=所围成的闭区域.解:由被积函数可知,先对x积分不行,因此取D

为X–型域:注:若被积函数为一元函数,缺哪个变量就对该变量先积分.y

=

1

-

x例

4

改变积分

dx

1-

x010f

(x,y)dy

的次序.原式=

dy1-

y010f

(

x,

y)dx

.解

积分区域如图y

=

2

-

xy

=

2

x

-

x2例

5

改变积分dxdx2-

x02100f

(

x,

y)dy

+1 2

x-

x2f

(x,y)dy的次序.原式=102-

y1-

1-

y2dyf

(

x,

y)dx.解

积分区域如图2f

(

x,

y)dy

(a

>

0)dx2a02ax2ax

-

x例6

改变积分的次序.解=a02aa-

a2

-

y2y2f

(

x,

y)dx原式aa+

a

-

y+

dy0dy2a2

22f

(

x,

y)dx

+

2aa2a2ayf

(

x,

y)dx.dyy

=

2axy

=

2ax

-

x2a2

-

y2

x

=

a

–2

aa2

aa2例

7：求

x2e-

y

dxdy，其中

D

是以(0,0),(1,1),D(0,1)为顶点的三角形.2解

e-

y

dy

无法用初等函数表示\积分时必须考虑次序D2x2e-

ydxdy

=x

e

dxdy02

-

y1

y02e=-

y10y3321062dy2y2edy

=-

y1

26

e(1

-

).=D例8：求1DD2oxy

-x

dxdy,其中D：-1

£

x

£

1，-1

£

y

£

1yx

‡

yy

-

x x

£

y解：y

-

x

=

x

-

yD2D1Dy

-

xdxdyx

-

ydxdy

+y

-

x

dxdy＝11ydy-1=x

-

ydx

+3ydyy-11-11-1=(x

-

y)21

dy

+-

23(y

-

x)2111623232315-1-1=

3y

2dy

+

3(1

-

y)2

dy＝dy1-1y-1y

-

xdx3例

9

求由下列曲面所围成的立体体积，z

=

x

+

y，

z

=

xy，

x

+

y

=

1，

x

=

0，

y

=

0.解曲面围成的立体如图.D所求体积V

=

(

x

+

y

-

xy)ds=101-

x0(

x

+

y

-

xy)dydx=10312[

x(1

-

x)

+247(1

-

x)

]dx

=

.所围立体在xoy面上的投影是

0

£

x

+

y

£

1,

\

x

+

y

‡

xy,例10:求两个底圆半径为R

的直交圆柱面所围的立体体积.xyzRRo利用对称性,考虑第一卦限部分,则所求体积为0dyR2

-x2R220=

8(R

-

x

)dx3R163=解:设两个直圆柱方程为x2

+

y2

=

R2

, x2

+

z2

=

R2其曲顶柱体的顶为z

=

0

£

y

£R2

-

x2R2

-

x2(x,

y)

˛

D

:

0

£

x

£

RR220=

8R

-

x

dx二重积分化为二次积分计算步骤及注意事项画出积分域确定积分序计算要简便积分域分块要少

累次积分好算为妙写出积分限(先积一条线,后扫积分域)(充分利用对称性)利用二重积分的几何意义化简计算：D

=

D1

¨

D2I

=

f

(x,

y)dxdyD12f(x,

y)dxdyD(1)D关于x轴对称0I

=

D12f(x,

y)dxdy(2)D关于y轴对称0I

=

f(x,y)关于y为奇函数

f(x,y)关于y为偶函数f(x,y)关于x为奇函数

f(x,y)关于x为偶函数D12f(x,

y)dxdyf

(-x,-y)

=

-f(x,

y)f

(-x,-y)

=

f

(x,

y)(3)D关于原点对称0I

=

D例：I

=

xydxdy

，其中D

:

x

+

y

£

11D3DD2

D4D1D2关于原点对称，xy

关于x,y为偶函数D3

D4关于原点对称，xy

关于x,y为偶函数D3

D1关于y轴对称，xy

关于x为偶函数11\

=

,

=

,

=

D1

D2

D3

D4

D1

D3100dx)16-xxydxdy(=

4xydy

=

DI＝4(B)

2

xydxdy

;D1(D)

0D(A)

2cosxsin

ydxdy

;D1(C)

4

(xy

+

cosxsin

y)dxdy

;D1例：设D是OXY平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形域，D1是D在第一象限部分，则

(xy

+

cosxsin

y)dxdy

=

(

A

)AoDDsii

ir

=

rir

=

r

+

Drq

=

qi

+

Dqiq

=

qiiii

iiiDqDq

-

r222Ds

=

(r

+

Dr

)21

1=

2

(2ri

+

Dri

)Dri

Dqi1iiii

iDr

Dq=r

+

(r

+

Dr

)2=

ri

Dri

Dqi,

f

(

x,

y)dxdy

=

f

(r

cosq,

r

sinq

)rdrdq.D

D二、利用极坐标系计算二重积分1=j

(q

)b j2

(q

)af

(r

cosq,r

sinq)rdr.dqabADo1r

=j

(q)2r

=j

(q)D

f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdrdq区域特征如图a

£

q

£

b

,j1

(q

)

£

r

£

j2

(q

).二重积分化为二次积分的公式（１）1)极点O在积分区域D的外部AoDr

=

j

(q

)0b

j

(q

)af

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr.=

dq

二重积分化为二次积分的公式（２）a

£

q

£

b

,0

£

r

£

j

(q

).

f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdrdqDab2)极点O在积分区域D的边界上区域特征如图

f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdrdqD00=2p

j

(q

)f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr.dq极坐标系下区域的面积s

=

rdrdq

.D区域特征如图0

£

r

£

j

(q

).DoAr

=

j

(q

)0

£

q

£

2p,二重积分化为二次积分的公式（３）3)极点O在积分区域D的内部一般情况下，被积函数为1)f

(x2

+y2

),f

(y

);2)积分x区域为圆域或圆的一部分;3)D的边界曲线用极坐标表示时用极坐标。x2

+

y

2

ds

,

D

:

x2

+

y

2

£

2x例1：计算I

=D2£

q

£

p,0

£

r

£

2cos

q}p2解:D

={(r,q)|

--p2p22cosq0r

2drdq原式=-=p2p283932cos3

qdq

=xDy

=0,y

=x,x

>0围成。D由x2

+

y

2

=

4,x2

+

y

2

=

1,例2

求I

=

arctg

y

ds,

D

:

1

£

x2

+

y

2

£

-2xD

x例3：求

y

dxdy210rdrqdqp4解:I

=2643=

p3)2

2A(-

1

,3)2

2B(-

1

,-4

p2

p3-2cosq13

tgqdq解:原式=rdr

=0法二:

积分区域关于x轴对称,y

关于y为奇函数,x\

原式=0例4

写出积分

f

(x,y)dxdy的极坐标二次积分形D式，其中积分区域D

=

{(

x,

y)

|

1

-

x

£

y

£

1

-

x2

,

0

£

x£

1}.x2

+

y2

=

1x

+

y

=

1解在极坐标系下y

=

r

sinq

x

=

r

cosq所以圆方程为r

=1,1sinq

+

cosq直线方程为r

=,Df

(

x,

y)dxdy011=p2sinq

+cosqf

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr.dq2

2例

5

计算

e-

x

-

y

dxdy，其中

D

是由中心在D原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解

在极坐标系下D：0

£

r

£

a

，0

£

q

£

2p.e

dxdy-

x

-

y2

2=-re

rdrdq02p

a02D2=

p(1

-

e

-a

).注:利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式20+¥-x

p2e

dx

=事实上,当D为R2时,利用例5的结果,得=①故①式成立.例

7

计算

(

x2

+

y2

)dxdy

，其

D

为由圆Dx2

+y2

=2

y

，x2

+y2

=4

y及直线x

-3

y

=

0，y

-3x

=0

所围成的平面闭区域.解32=

p61pp

(

x2

+

y2

)dxdy

=D64

sin

q2

sin

qr

23

dq-

3).p2rdr

=

15(x2

+

y2

=

4

y

r

=

4sinqx2

+

y2

=

2

y

r

=

2sinqx

-

3y

=

0

q

=

py

-

3x

=

0

q例

8

计算二重积分

Dx2

+

y2sin(p

x2

+

y2

)dxdy,其中积分区域为D

={(x,y)|

1

£

x2

+y2

£

4}.，Dx2

+

y2sin(px2

+

y2

)

sin(pdxdy

=

4D1x2

+

y2x2

+

y2

)dxdy10=

4p2r2sin

prdqrdr

=

-4.解由对称性，可只考虑第一象限部分D

=

4D1注意：被积函数也要有对称性.D1例

9

求曲线

(

x2

+

y2

)2

=

2a2

(

x2

-

y2

)和x2

+

y2

‡

a2

所围成的图形的面积.解根据对称性有D

=4D1在极坐标系下(

x2

+

y2

)2

=

2a2

(

x2

-

y2

)

r

=

a

2cos

2q

,x2

+

y2

=

a2

r

=

a,D1由r

=

ar

=

a2cos2q,p得交点A

=

(a,

),6DD1所求面积s

=

dxdy

=4

dxdy0p6=

4a

2

cos

2qardrdq3=

a2

( 3

-

p).dx

‡

(b

-

a)2b

ba例11:设f(x)在[a,b]上连续,且恒大于零,试利用二重积分证明1f(x)dxa

f(x)bxba

a

adxf

(y)dy

=

f(y)(b

-

y)dy

例10:证明D

Df

(

y)

f

(

x)证:

I

=

f

(x)

dxdy

=

f

(y)

dxdyD

Df

(

y)

f

(

x)\

2I

=

(

f

(

x)

+

f

(

y))dxdy

‡

2

dxdy\

I

‡

(b

-

a)2（在积分中要正确选择积分次序）三、小结二重积分在直角坐标下的计算公式

Dbaf

(

x,

y)dy

.j

2

(

x

)j1

(

x

)f

(

x,

y)ds

=

dx

Ddcf

(

x,

y)dx

.j

2

(

y

)j1

(

y

)f

(

x,

y)ds

=

dy

（在积分中注意使用对称性）D二重积分在极坐标下的计算公式

f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdrdq1=j

(q

)b j2

(q

)af

(r

cosq,r

sinq)rdr.dq0j

(q

)baf

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr.00=j

(q

)2pq

,

r

sinq

)rdr.f

(r

cosdq=

dq

设f

(x)在[0,1]上连续，并设10f

(

x)dx

=

A，1

10x求

dx

f

(

x)

f

(

y)dy

.思考题1xf

(y)dy不能直接积出,\改变积分次序.110xdx令I

=f

(

x)

f

(

y)dy

,思考题解答则原式=ydy010f

(

x)

f

(

y)dx

.010=xf

(

y)dy,f

(

x)dx110xf

(

y)dyf

(

x)dx故2I

=+x010f

(

y)dyf

(

x)dx1010)

f

(

y)dy]f

(

x)dx[(xx+=21010f

(

x)dxf

(

y)dy

=

A

.=交换积分次序:0

pp-2(a

‡

0).f

(r,

q)drI

=

2

dqa

cosq思考题p

pD

:

-

2

£

q

£

2

,0

£

r

£

a

cos

qoy思考题解答r

=

a

cosqDa

xaq

=

-arccos

raq

=

arccos

r0aarccos

r-arccosaradrI

=f

(r,q

)dq

.一、填空题:1、(

x

3

+

3

x

2

y

+

y

3

)ds

=

.其中DD

:

0

£

x

£

1,0

£

y

£

1.2、

x

cos(

x+

y)ds

=

.其中D

是顶D点分别为(0,0)，(p

,0)，(p

,p

)的三角形闭区域.3、将二重积分

f

(x,y)ds

,其中D

是由x

轴及半圆周Dx

2

+y

2

=r

2

(y

‡0)所围成的闭区域,化为先对y后对

x

的二次积分,应为

.练习题D4、将二重积分

f

(x,y)ds

,其中D

是由直线y

=x,x

=2及双曲线y

=1

(x

>0)所围成的闭区x域,化为先对x

后对y

的二次积分,应为

.5、将二次积分212

x

-

x

22-

xdxf

(