【北师大版】初二数学下期末试卷及答案

一、选择题1．给出下列命题：①三角形的三条高相交于一点；②如果一组数据中有一个数据变动，那么它的平均数、众数、中位数都随之变动；③如果不等式的解集为，那么；④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角则这个三角形是直角三角形；其中正确的命题有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，853．某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是()A．6 B．6.5 C．7 D．84．为了解某校计算机考试情况，抽取了50名学生的计算机考试成绩进行统计，统计结果如表所示，则50名学生计算机考试成绩的众数、中位数分别为（）考试分数（分）2016128人数241853A．20，16 B．l6，20 C．20，l2 D．16，l25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，） D．（0，2）6．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A． B．C． D．7．如图，已知在平面直角坐标系中．以(为圆心，适当长为半径作圆弧，与轴交于点，与轴交于点再分别以为圆心．大于长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点．以下四组与的对应值中，能够使得点在射线上的是（）A．和 B．和 C．和 D．和8．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A． B． C． D．9．下列计算正确的是（）A． B． C． D．10．如图所示，已知中，，，，分别为的中点，E是上动点，则周长的最小值为（）A． B． C． D．611．如图，将三角形纸片沿过边中点D、E的线段折叠，点A落在边上的点F处，下列结论中，一定正确的个数是（）①是等腰三角形②③四边形是菱形④A．1 B．2 C．3 D．412．如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若点是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题13．小明这学期第一次数学考试得了72分，第二次数学考试得了86分，为了达到三次考试的平均成绩不少于80分的目标，他第三次数学考试至少得____分．14．某班体育委员对本班所有学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了统计图，如图所示，根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是__________________①该班学生共有44人；②.该班一周锻炼时间为10小时的学生最多；③该班学生一周锻炼时间的中位数是11；④该班学生一周锻炼的平均时间为小时．15．在平面直角坐标系中，有直线：和直线：，直线的有一个点，当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是________．16．已知正比例函数的图像经过点，点在正比例函数的图像上，点，且，则点的坐标为______．17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为_____．19．对于实数、作新定义：，，在此定义下，计算：________．20．一个直角三角形，一边长5cm，另一边长4cm，则该直角三角形面积为____三、解答题21．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图；（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为本；（3）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．22．8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表(得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀)．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.22.117692.5%20%二班6.854.288885%10%根据图表信息，回答问题：(1)用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；(2)甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？23．如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与直线交于点，直线与x轴、y轴分别交于点M、N，P为直线上一点．（1）求m，n的值；（2）求的度数；（3）求线段的最小值，并求此时点P的坐标．24．如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，连结．（1）求证：．（2）试判断和的数量关系，并说明理由．25．（1）计算：（2）计算：（3）解方程组：（4）解方程组：26．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据三角形的高、平均数、众数、中位数的定义、不等式的基本性质和邻补角的定义逐一判断即可．【详解】①钝角三角形的三条高不相交（三条高所在的直线交于一点），故错误；②如果一组数据中有一个数据变动，那么它的平均数会随之变动，但众数和中位数不一定变动，故错误；③如果不等式的解集为，可得m－3＜0，那么，故正确；④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，根据邻补角的定义可得这个外角和与它相邻的一个内角之和为180°，∴三角形的这个内角为180°÷2=90°则这个三角形是直角三角形，故正确．综上：正确的有2个故选B．【点睛】此题考查的是三角形的相关性质、定义、数据的平均数、众数、中位数的定义和不等式的基本性质，掌握三角形的相关性质、定义、数据的平均数、众数、中位数的定义和不等式的基本性质是解决此题的关键．2．A解析：A【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．【详解】∵这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，∴这组数据的众数是87，这组数据的中位数是=87．故选A．【点睛】本题考查了中位数和众数的定义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据个数确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．3．C解析：C【分析】根据平均数求出x的值，再利用中位数定义即可得出答案．【详解】∵5，6，6，，7，8，9，这组数据的平均数是7，∴，∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9∵这组数据最中间的数为7，∴这组数据的中位数是7．故选C．【点睛】此题主要考查了中位数，根据平均数正确得出的值是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：在这一组数据中20是出现次数最多的，故众数是20；将这组数据从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数是16，16，那么这组数据的中位数16．故选：A．【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．5．B解析：B【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点．【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；∵A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，B点坐标为（-2,0），D是OB的中点，∴D点坐标为：（﹣1，0），A关于y轴的对称点A'，可知A'（2，3），设A'D的直线解析式为y＝kx+b，则：，解得：，∴A'D的直线解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝1∴E（0，1）．故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和求一次函数图象与坐标轴交点坐标，能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为两点之间，线段最短，并能利用一次函数求出点的坐标是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx＋n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过1，3，4象限或2，4，1象限．故选：A．【点睛】此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．7．A解析：A【分析】根据题意可得OC的解析式为y=-x，再由各选项的数字得到点P的坐标，代入解析式即可得出结论．【详解】解：由作图可知，OC为第四象限角的平分线，故可得直线OC的解析式为y=-x，A、当x=2，y=-1时，P（2，-2），代入y=-x，可知点P在射线上，故A符合题意；B、当x=2，y=-2时，P（2，-3），代入y=-x，可知点P不在射线上，故B不符合题意；C、当x=2，y=2时，P（2，1），代入y=-x，可知点P不在射线上，故C不符合题意；D/当x=2，y=3时，P（2，2），代入y=-x，可知点P不在射线上，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据△ABC为等边三角形，得到∠A=∠C=∠ABC=，利用DEAC，证得△DEB是等边三角形，求出DE=BD=2-x，利用EF⊥DE，求出EF=(2-x)，再根据面积公式求出函数解析式，依据函数的性质确定函数图象．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=∠ABC=,∵DEAC，∴∠DEB=∠C=，∠EDB=∠A=,∴∠DEB=∠EDB=∠DBE=，∴△DEB是等边三角形，∴DE=BD=2-x，∵EF⊥DE，∴∠DEF=，∴∠DFE=，∴DF=2DE=4-2x,∴EF=(2-x)，∴△DEF的面积为y=（0<x<2），∵此函数为二次函数，开口向上，对称轴为直线x=2，且0<x<2，故选：A．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，函数的性质，函数图象，根据题意分别求出DE、EF，由此得到函数解析式是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．【详解】A、，故该选项错误；B、，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、，故该选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，此时周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF为矩形，得出FF′=3，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF周长的最小值．【详解】解：如图，作点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E．此时DE+EF最小∵点D、F分别是AB和AC的中点，BC=4，，∴DF=BC=2，DF//BC，BD=1.5，∵点F与点F′关于BC对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC，FM=F′M，∴DE+EF最小值为DE+EF′=DF′，，∵DF//BC，，∴，∴四边形DBMF为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt△DFF′中，，∴△DEF周长的最小值=DF+DE+EF=DF+DF′=2+．故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F关于BC的对称点，将DE+EF转化为DF′的长是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】解：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，故②正确；∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．所以一定正确的结论个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．12．B解析：B【分析】连接BP，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，CE=，证明△BDP≌△EDP，推出BP=EP，当点P与点D重合时，即可求出的周长的最小值．【详解】连接BP，在中，，∴∠BAC=，AB=BC，∴，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，∴CE=，在△BDP和△EDP中，，∴△BDP≌△EDP，∴BP=EP，∴当点P与点D重合时，PE+PC=PB+PC=BC的值最小，此时的周长最小，的周长的最小值为BC+CE=1+=，故选：B．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP≌△EDP，由此推出当点P与点D重合时的周长最小，合情推理科学论证．二、填空题13．82【分析】设第三次考试成绩为x根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式求出x的取值范围即可得答案【详解】设第三次考试成绩为x∵三次考试的平均成绩不少于80分∴解得：∴他第三次数学考试至少得82分解析：82【分析】设第三次考试成绩为x，根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式，求出x的取值范围即可得答案．【详解】设第三次考试成绩为x，∵三次考试的平均成绩不少于80分，∴，解得：，∴他第三次数学考试至少得82分，故答案为：82【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．熟练掌握求平均数的方法，根据不等关系正确列出不等式是解题关键．14．①②④【解析】【分析】根据统计图中的数据可以得到一共多少人然后根据平均数中位数和众数的定义即可求得这组数据的平均数中位数和众数【详解】由统计图可知锻炼9小时的有6人锻炼10小时的有9人锻炼11小时的解析：①②④【解析】【分析】根据统计图中的数据可以得到一共多少人，然后根据平均数、中位数和众数的定义即可求得这组数据的平均数、中位数和众数．【详解】由统计图可知锻炼9小时的有6人，锻炼10小时的有9人，锻炼11小时的有10人，锻炼12小时的有8人，锻炼13小时的有7人，故该班学生共有6+9+10+8+7=40人，因此①错误；从统计图可以看出，该班一周锻炼时间为11小时的学生最多，因此②错误；该班学生一周锻炼时间的中位数是11小时，故③正确；该班学生一周锻炼的平均时间为小时，故④错误．故错误的有①②④【点睛】题考查折线统计图、平均数、中位数和众数的定义，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．15．【分析】利用点到直线的距离公式得到M的坐标之间的关系式与直线联立解方程组即可得到界点值根据题目要求写出符合题意的范围即可【详解】设点M(mn)直线与坐标轴的交点为EA与坐标轴的交点为EF过点A作AB解析：【分析】利用点到直线的距离公式，得到M的坐标之间的关系式，与直线联立，解方程组即可得到界点值，根据题目要求，写出符合题意的范围即可.【详解】设点M(m，n)，直线与坐标轴的交点为E，A，与坐标轴的交点为E，F，过点A作AB⊥EF，垂足为B，过点M作MC⊥EA，垂足为C，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，根据题意，得OE=5，OA=，OF=15，AF=OF-OA=，∴EF==，AE==，∴，∴，∴AB=，∴sin∠AEB===，∴∠AEB=45°，∴MC=CE，∴ME=，∴，∴，∴，∴，∴，∵点到直线的距离小于，∴点的横坐标取值范围是.故答案为.【点睛】本题考查了交点坐标的确定，图形的面积，三角函数的定义，不等式解集的确定，熟记坐标与线段的关系，三角函数的定义是解题的关键.16．或【分析】先确定正比例函数的解析式利用分类思想用点M的坐标表示△ABM的面积求解即可【详解】∵正比例函数的图像经过点∴k=∴y=x∵=＜10∴点M不可能在线段AO上∴当点M在点A的左上时设M（-2a解析：或.【分析】先确定正比例函数的解析式，利用分类思想，用点M的坐标表示△ABM的面积求解即可.【详解】∵正比例函数的图像经过点，∴k=，∴y=x，∵=＜10，∴点M不可能在线段AO上，∴当点M在点A的左上时，设M（-2a,5a），∵，∴10=-，∴a=，∴M（，）；∴当点M在点O的右下时，设M（2a,-5a），∵，∴10=+，∴a=，∴M（，）；综上所述，符合题意的M的坐标为（，）或（，）.故填（，）或（，）.【点睛】本题考查了正比例函数的解析式和性质，三角形面积的表示法，数学的分类思想，合理设点M的坐标，并用点M的坐标表示已知三角形的面积是解题的关键.17．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20证出平行四边形OCED为矩形得OE＝CD＝10即可【详解】解：∵DEACCEBD∴四边形OCED为平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDOA＝O解析：10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．【详解】解：∵DEAC，CEBD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．18．【分析】连接CM由题意易证即得到PC=DC=3设AN=x则PN=xBN=3-xCN=3+x在中利用勾股定理即可求出x即可得到CN的长【详解】如图连接CM由题意可知在和中∴∴PC=DC=3设AN=x则解析：【分析】连接CM，由题意易证，即得到PC=DC=3．设AN=x，则PN=x，BN=3-x，CN=3+x．在中利用勾股定理即可求出x，即可得到CN的长．【详解】如图，连接CM，由题意可知，在和中，，∴，∴PC=DC=3．设AN=x，则PN=x，BN=3-x，CN=3+x．在中，，即，解得：，∴CN=3+．故答案为：．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．19．【分析】先将新定义的运算化为一般运算再计算二次根式的混合运算即可【详解】解：=====故答案为：【点睛】本题考查新定义的实数运算二次根式的混合运算能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键解析：【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：=====．故答案为：．【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．20．10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形解析：10或6【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．【详解】解：当5为直角边时，4也为直角边，则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时，由勾股定理得另一直角边为=3，则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，综上，该直角三角形的面积为10或6，故答案为：10或6．【点睛】本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）3；（3）3本；（4）120人【分析】（1）先用读2本的人数除以其所占百分比求出抽取的总人数，进而可求出读4本书的人数与读3本的人数所占百分比，进而可补全统计图；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）根据加权平均数的定义求解即可；（4）用扇形统计图中读5本书的人数所占百分比×1200即得结果．【详解】解：（1）所抽取学生总数=18÷30%=60人，60×20%=12人，21÷60=35%；补全两幅统计图如图所示：（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为3本；故答案为：3；（3）（本）；答：本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为3本；（4）10%×1200=120（人）；答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．(1)二，一；(2)乙同学的推断比较科学合理，理由见解析.【分析】(1)根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案；(2)结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可.【详解】(1)一班的方差为2.11，二班的方差为4.28，用方差推断，二班的成绩波动较大；一班的合格率为92.5%，优秀率为20%，二班的合格率为85%，优秀率为10%，一班的合格率与优秀率均比二班的大，因此用优秀率和合格率推断，一班的阅读水平更好些，故答案为二；一；(2)乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．【点睛】本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键.23．（1），；（2）；（3），．【分析】（1）首先把点B（4，n）代入直线y=-x+5得出n的值，再进