2022北京北师大实验中学高二（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2022北京北师大实验中学高二（上）期中数学班级_________姓名_________学号_________成绩_________考生须知1．本试卷共7页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答第I卷(共100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知空间向量，，则A． B． C．1 D．22．若直线与垂直，则A． B．2 C． D．3．若表示圆的方程，则的取值范围是A． B． C． D．4．平行六面体中，设，，，若为的中点，则A． B． C． D．5．已知，，则线段上靠近的三等分点的坐标为A． B． C． D．6．设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是①若，则与所成的角为30°；②若与所成角为，则；③若，则平面与所成的角为60°；④若平面与所成的角为60°，则A．③ B．①③ C．②④ D．①③④7．点关于直线的对称点的坐标为A． B． C． D．8．三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为A． B． C． D．9．已知点的坐标为，圆与轴交于两点，与轴交于两点，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件10．设为函数图像上的动点，是圆(其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为A． B． C． D．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．过点，的直线的倾斜角为_________．12．若，，为共面向量，则的值为_________．13．正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________．14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程为_________．15．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：①直线与平面所成角为45°；②二面角的余弦值为；③点到平面的距离为定值；④线段长度的取值范围是其中所有正确结论的序号是____________

三、解答题(本大题共3小题，共35分)16．(本小题满分12分)已知向量，．(I)若，求；(Ⅱ)求证：对任意，与不垂直；(Ⅲ)若与轴平行，求，的值17．(本小题满分13分)如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点．(I)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值：(Ⅲ)求点到平面的距离．18．(本小题满分10分)用坐标法解答以下问题如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________．从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，①连接并延长交于点，求证：；②取上一点，使得，求证：三点共线．第Ⅱ卷(共50分)四、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)19．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为2km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西4km处，陆上的港口位于小岛中心正北3km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？________(填“是”或“否”)20．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________．21．已知单位向量，两两夹角均为，则________；的最小值为________．22．已知四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，设．记直线与平面所成角为，二面角的大小为．给出下列四个结论：①若，则； ②若，则；③； ④其中所有正确结论的序号是________．五、解答题(本大题共3小题，共34分)23．(本小题满分10分)平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点．(I)若与圆相切，求的值；(Ⅱ)若经过点，求直线与圆的交点的坐标；(Ⅲ)若过点的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围．24．(本小题满分14分)如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，是的中点．(I)证明：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；(III)棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由。25．(本小题满分10分)对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值。(I)已知，．①写出，写出(用含的式子表示)；②当，写出的最小值及此时x的值；(Ⅱ)设，，求证：；(Ⅲ)在空间直角坐标系中，，，，点是以为球心，1为半径的球面上的动点，点是内部的动点，直接写出的最小值及相应的点的坐标．

参考答案第I卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共40分）题号12345678910答案DBACBAACBD二、填空题（每小题5分，共25分）题号1112131415答案2或②③④三、解答题（共35分）16．解：（I）当时，因为，所以．（Ⅱ）因为因此，对任意，与不垂直（Ⅲ）由题意知，即存在，使得则即，解得，17．解：（I）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．，，，，，，．因为，所以，即因为所以，即又因为，因此平面（II）因为平面，所以为平面的一个法向量由（I）知为平面的一个法向量。设所求角为，由图知为锐角，因此（Ⅲ）点到平面的距离18．解：以为原点，，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系．图中直线的方程为．选择①：设，则直线的方程为，联立，得．所以又，所以．所以．选择②：设，则因为，所以所以直线的方程为所以所以，所以三点共线．第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（每小题4分，共16分）题号19202122答案否2；；①五、解答题（共34分）23．解：圆的方程为．（I）由题意知，圆心到直线的距离解得或（Ⅱ）若直线过点，则，直线的方程为．联立直线与圆的方程，，解得交点坐标分别为（1,1），（，）（Ⅲ）设直线斜率为，则直线的方程为，即．设圆心到直线的距离为，有因为，所以．解，得．24．解：（I）证明：连接,，由于,，故又因为平面，平面，所以平面（Ⅱ）如图，取，中点，由于⊥平面,，因此平面，又因为，所以，故,,两两垂直