平行四边形 名师获奖

第27课时平行四边形1．[2018·宜宾]在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是 (

) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定B2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图27－1的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是 (

)

A．①② B．①④ C．③④ D．②③图27－1D3．如图27－2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 (

)

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC图27－2D【解析】A．由AB∥DC，AD∥BC可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形；B.由AB＝DC，AD＝BC可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形；C.由AO＝CO，BO＝DO可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形；D.由AB∥DC，AD＝BC可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意．故选D.4．[2018·荆州]如图27－3，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为______．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝5，OA＝OC＝4，OB＝OD＝5， ∴△OCD的周长＝5＋4＋5＝14.图27－3145．[2017·扬州]在▱ABCD中，∠B

＋∠D＝200°，则∠A＝________．

【解析】根据“平行四边形的对角相等、邻角互补”可以求得∠A＝180°－200°÷2＝80°.80°1．平行四边形的定义和性质

定义：两组对边分别________的四边形是平行四边形．

性质定理：(1)平行四边形的对角________； (2)平行四边形的对边________； (3)平行四边形的对角线互相________．

推论：(1)夹在两条平行线间的平行线段相等； (2)夹在两条平行线间的垂线段相等．平行相等相等平分【知识拓展】(1)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点；(2)若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积．2．平行四边形的判定

判定定理： (1)一组对边平行且________的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别________的四边形是平行四边形； (3)对角线____________的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别________的四边形是平行四边形．3．平行四边形的面积

平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高．

注意：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积________．相等相等互相平分相等相等1．平行四边形的判定方法 (1)若条件中涉及角，试着用“两组对角分别相等”来证明； (2)若条件中涉及对角线，试着用“对角线互相平分”来证明； (3)若条件中涉及边，试着用“两组对边分别平行”，“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”来证明．2．平行四边形中常用的辅助线的作法 (1)连对角线把平行四边形问题转化为全等三角形问题； (2)有平行线时，作平行线构造平行四边形； (3)有中点时，作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有邻边特征时(如等腰三角形，等边三角形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕邻边的公共端点旋转到另一位置．类型一平行四边形的性质典例[2018·宁波]如图27－4，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为()

A．50° B．40° C．30° D．20°图27－4

B【解析】∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1＝∠ACB＝40°.跟踪训练1.[2018·衢州]如图27－5，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.图27－52．[2017·菏泽]如图27－6，E是▱ABCD的边AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．【解析】由平行四边形的性质得出AB＝CD＝6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F＝∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF＝CD＝6，即可求出BF的长．图27－6解：∵E是▱ABCD的边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∴∠F＝∠DCE，3．如图27－7，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．图27－7【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE；(2)由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，思维升华平行四边形的对边的相等且平行，角的相等或互补，对角线的互相平分，面积公式，中心对称等性质，为我们解决相关问题提供了直接根据，创造了有利条件，熟记这些性质，对解题尤为重要．类型二平行四边形的判定典例[2018·孝感]如图27－8，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连结AD.求证：四边形ABED是平行四边形．图27－8【解析】由AB∥DE，AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，由BE＝CF可得出BC＝EF，进而可证出△ABC≌△DEF(ASA)，根据全等三角形的性质可得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，∴BC＝EF.跟踪训练1.[2017·咸宁]如图27－9，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)连结AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．图27－9

证明：(1)∵BE＝FC，∴BC＝FE，∴△ABC≌△DFE(SSS)；(2)连结AF，BD，如答图所示：由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．

跟踪训练1答图2．[2018·永州]如图27－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连结CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.在等边三角形ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.图27－10又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC.在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°.∴FC∥BD.又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC.∴四边形BCFD是平行四边形；(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，类型三平行四边形的开放与探究典例[2018·徐州]已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA＝OC；②AB＝CD；③∠BAD＝∠DCB；④AD∥BC.

请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题： ①构造一个真命题，画图并给出证明； ②构造一个假命题，举反例加以说明．【解析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．解：(1)如答图，①④为论断时：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC.又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形；(2)②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．典例答图跟踪训练[2019·中考预测]如图27－11，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题．(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明(命题请写成“如果……，那么……”的形式)．图27－11

跟踪训练答图解：(1)是真命题．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)假命题：①在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；②在四边形ABCD中，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形．