抛物线的方程与性质

第7节抛物线的方程与性质考试要求掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知

识

梳

理1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离

的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的

. (2)其数学表达式：(d为点M到准线l的距离).相等准线2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离(4)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.答案(1)√

(2)√

(3)×

(4)×解析抛物线的标准方程为x2＝8y，则其焦点坐标为(0，2)，故选B.答案B答案B答案C5.(2015·上海卷)抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.答案2【例1】(1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________. (2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.考点一抛物线的定义及应用解析(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.答案(1)9

(2)(2，2)规律方法与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【训练1】(1)(2019·北京朝阳区二模)已知点M(1，2)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则p＝________；点M到抛物线C的焦点的距离是________. (2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，5)，则|PA|＋|PF|的最小值是________.

解析(1)点M(1，2)代入抛物线方程得22＝2p×1，解得p＝2；抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离为1－(－1)＝2.考点二抛物线的标准方程【例2】

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)的抛物线； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点.规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).(3)结合抛物线定义，先确定轨迹，若是抛物线，再求出其标准方程.(2)设点P(x，y)，动圆的半径为R，所以R＝|x|，又因为|PC|＝R＋5，所以|PC|＝|x|＋5，当点P在y轴右侧时，则|PC|＝x＋5，所以点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，所以轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧时，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹就是x轴的负半轴，所以轨迹方程为y＝0(x<0).所以圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0).答案(1)D

(2)y2