湖南省郴州市清和中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省郴州市清和中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（

）A．[1,3] B．[2,]

C．[2,9] D．[,9]参考答案：C2.已知实数,满足条件则的最大值为(

)A.0

B.

C.

D.1参考答案：B3.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为、、、、参考答案：A画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故.故选.4.若等边三角形ABC的边长为，该三角形所在平面内一点M满足，则等于A. B. C.1 D.2参考答案：A

==

=选A.5.下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【分析】代入选项直接判断正误即可．【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．6.设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是(

). A． B．

C． D．参考答案：A7.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为(

)

A．

B．C．

D．参考答案：A8.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S的值是（

）A、－3B、－C、D、2参考答案：D9.已知R是实数集，，则N∩?RM=（）A．（1，2） B．[0，2] C．? D．[1，2]参考答案：B【考点】交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；其他不等式的解法．【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出N∩CRM．【解答】解：∵M={x|＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=}={y|y≥0}，故有N∩CRM={y|y≥0}∩{x|x＜0，或x＞2}=[0，+∞）∩（（﹣∞，0）∪（2，+∞））=[0，2]，故选B．10.已知三个正态分布密度函数（x）=的图象如图所示，则（

） A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x、y满足，则的最小值为．参考答案：

【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率，结合图象可知，的最小值为=，故答案为：．12.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，则f(14)＝17．记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2011(8)＝

．参考答案：11

13.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．参考答案：【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于较基础题．14.角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），∴x=﹣2sin60°=﹣，y=2cos30°=，∴r=|OP|=，则sinα===，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，则函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是

个．参考答案：4【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的零点，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，结合二次函数的图象，问题转化为求f（x）和f（|a|+a+1）的交点个数问题．【解答】解：对于函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，∴f（0）=4a2﹣3=0，解得：a=±，又由x＞0时，f（x）=x2+2ax+4a2﹣3，其对称轴为x=﹣a，若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，必有x=﹣a≥0，故a=﹣，∴f（x）=x2﹣|x|，如图示：，f（x）的最小值是f（±）=﹣＜1﹣=f（|a|+a+1），故函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是4个，故答案为：4．16.（4分）若偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=（）x在[0，4]上根的个数是．参考答案：4【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据f（x﹣1）=f（x+1），可知函数周期为2，结合该函数为偶函数，可以做出函数f（x）在[0，4]上的图象，然后再做出函数y=（）x的图象，则它们图象的交点个数即为所求．解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y轴对称，同时以2为周期．根据x∈[0，1]时，f（x）=x2得该函数在[0，4]上的图象为：再在同一坐标系中做出函数的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．所以方程f（x）=（）x在[0，4]上有4个根．故答案为4．【点评】：本题考查了函数的奇偶性的有关概念和性质，以及利用数形结合思想解决方程根的个数的判断问题．17.若平面内不共线的向量，，两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝2，则|++|＝

．参考答案：1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=cedx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01

1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.121.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39．所以表中空格内的值为﹣0.39．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为y=0.24x﹣8.76．19.（本小题满分16分）已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比数列.（1）若数列｛bn｝的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜5b2＋a88－180，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列｛bn｝中是否存在一项bk，使得b,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由；（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3=at（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的约数）求证：数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项.参考答案：20.（本小题满分13分）设m是实数，记，(1)证明：当时，f(x)对所有实数都有意义；(2)当时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个,函数f(x)的最小值都不小于1.

参考答案：略21.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若对于函数f(x)图象上的两点、，存在，使函数f(x)的图象在处的切线l与直线PQ平行，证明：.参考答案：解：（1）依题意：函数的定义域是..∵，∴.由可得时，即递增区间，由可得时，即递减区间，∴函数的递增区间为，递减区间为.（2）依题意：..∵在递减，∴要证，只要证明即可，即证明，即证明，令，构造函数，∵，∴函数在递增，∴.∴，即.∴得证.

22.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC?平面MDE，MN?平面MDE，∴AC∥平面MDE．解