2023艺术生新高考数学讲义 第27讲 统计案例和回归方程（学生版+解析版）

第27讲统计案例和回归方程

【知识点总结】

一、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法。

对于一组具有线性相关关系的数据3,M）,（X2J2），…，（X”,y“），其回归方程丫=嬴+”的求法为

__

Z（x,.—x）（M-y）2玉»-"xy

t)_M_____________

“

za2"-2

-X)%：-"X

i=\

-l=反i

a=y-

_«—1«--

其中，x=-tXi,y=-tyi,（x,y）称为样本点的中心。

步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线,

直线斜率Q0,称两个变量正相关；k<0,称两个变量负相关。

—、孑或立性

独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。

n(ad-be)1

步骤为列出2x2列联表（如表13-8所示），求出K2=,并判断:

+h)(c+d)(a+c)(/?+d)

4A2合计

Biaca+c

bdb+d

B2

合计a+bc+dn=a+b+c+d

若群>10828,有99.9%把握称“A取4或4”对“B取&”有关系;

若10.8282心>6.635,有99%把握称“4取4或4”对“B取囱，毛”有关系;

若6.6352K2>3.841,有95%把握称“A取4或4”对"8取S,反”有关系;

若犬43.841，没有把握称A与B相关。

【典型例题】

例1.（2022・全国•高三专题练习（文））在对两个变量x,y进行回归分析时有下列步骤：

①对所求出的回归方程作出解释：②收集数据（而”），i=l,2,…，n；

③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图.

则下列操作顺序正确的是（）

A.①②④③B.③②④①C.②③①@D.②④③①

例2.（2022•全国•高三专题练习）对于数据组（%,y,）（i=l,2,3,如果由线性回归方程得到的对应于自变

量x,的估计值是力,那么将称为相应于点（x,,y）的残差.某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需

某种原材料V吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x,y）如下表所示：

X3456

y2.534in

根据表中数据，得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，据此计算出样本点处的残差为一0.15,则表中

的值为（）

A.3.3B.4.5C.5D.5.5

例3.（2022•全国•高三专题练习）据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之

间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm,其余均在50mmm以上，局地超

过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为50%.通过模拟实验的方法来估计

该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数x（xeN,

且0WxW9）表示是否下雨：当xw［（U］（kwZ）时表示该地区下雨，当xw伙+1,9］时，表示该地区不下雨.

因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

（1）求出女的值，使得该地区每一天下雨的概率均为50%；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中

恰好有2天下雨的概率；

（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm）如表：

时间2016年2017年2018年2019年2020年

年份f12345

降雨量）’2827252322

经研究表明：从2016年到2020年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量丫与年份f具有线性相关关系，求

回归直线方程y=G+a.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？

参考公式：b=-；------；=-4-------»g=

Z”）沙-/

1=1»=1

例4.（2022•全国•高三专题练习（理））某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组

成.每件产品的非原料成本）（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

X

为§，=96.54e"、,ln），与x的相关系数4=-0.94.

（1）用反比例函数模型求y关于*的回归方程；

（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0。1）,并用其估计产量为10千件时每件

产品的非原料成本.

参考数据：

Xix88

Zxzw2

Uu2,0.61x6185.5e-

i=li=lf=lZ=l

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

参考公式：对于一组数据（4%）,鱼,%），…，（％，匕），其回归直线0=6+血的斜率和截距的最小一乘估计分

-nu-v〉2%匕一“万•V

别为：方=号---------，a=v-pu,相关系数

-nu1

i=\

例5.（2022・全国•高三专题练习）如图是某小区2020年1月至2021年1月当月在售二手房均价（单位：万

元/平方米）的散点图.（图中月份代码1〜13分别对应2020年1月〜2021年1月）.根据散点图选择），=。+匕&

和丫=。+"山》两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为'=0.9369+0.0285五和

y=0.9554+0.0306In%.并得到以下一些统计量的值:

当月在售二手房均价y

1.04-

1.02-•••••・・・

1.00-•*

0.98-•*

0.96-#

09412345678910111213月份代码x

y=0.9369+0.02856y=0.9554+0.0306Inx

残差平方和O.(XX)5910.00()164

总偏差平方和欧％一习2

0.006050

/=1

（1）请利用相关指数此判断哪个模型的拟合效果更好;

（2）估计该小区2021年6月份的二手房均价.（精确到0.001万元/平方米）

参考数据：In2=0.69,ln3®1.10,lnl7«2.83,lnl9«2.94,夜641，百21.73，717»4.12,719»4.36.

-y,）'

参考公式：相关指数R2=l-「二

2（%-万

1=1

例6.（2022・全国•高三专题练习）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市新春县大力发展大健康产业，

新艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知新艾的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度

x（单位：℃）有关，现收集了薪艾的13组观测数据，得到如下的散点图:

现根据散点图利用），=。+6炭或y=c+4建立y关于x的回归方程，令s=«,/=,得到如下数据:

XX

Xy5

10.15109.943.040.16

13%13产院73了

£/,.x-i3r-y13T

J=li=lk=l1=1J=1

13.94-2.111.670.2121.22

且（S,，必）与《,y,）（i=l，2,3,…，13）的相关系数分别为4，矶且4=-0.9953.

（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；

（2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知斯艾的利润z与x、y的关系为z=20y-；x,当x为何值时，z的预报值最大.

参考数据和公式：0.21x21.22=4.4562,11.67x21.22=247.6374,参47.6374=15.7365,对于一组数据（〃,,4）（i

匕-nuv

=1,2,3,〃），其回归直线方程u"，的斜率和截距的最小二乘法估计分别为夕=9-------

十。-2

2A

-nuv

a=v-13u,相关系数二i=l

例7.（2022・河北张家口•高三期末）已知某区A、8两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9:11,该

区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A、8两校初一年级在校学生中共抽取了100名

学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

(1)在抽取的100名学生中，A、8两所学校各抽取的人数是多少？

(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作

业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；

(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中的20人来自A中学，根据已知条件填写下面列联

表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关？

做作业时间超过3小时做作业时间不超过3小时合计

A校

B校

合计

附表:

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

n^ad-bcY

(〃+6)(c+d)(a+c)(b+d)

【技能提升训练】

一、单选题

i.（2022•全国•高三专题练习）某工厂的每月各项开支x与毛利润y（单位：万元）之间有如下关系，y与x

的线性回归方程y=6.5x+a，则”=（）

X24568

y3040605070

A.17.5B.17C.15D.15.5

2.（2021•重庆南开中学高三阶段练习）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（%,%）,

（x2,y2）....则下列说法中不正确的是（）

A.由样本数据得到的回归方程y=bx+a必过样本中心（x,y）

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R?来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好

D.若变量y和x之间的相关系数为r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系

3.（2021.黑龙江.漠河市高级中学高三阶段练习（文））某单位为了了解办公楼用电量）（度）与气温x（°C）

之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：

气温（℃）181310-1

用电量（度）24343864

由表中数据得到线性回归方程y=-2x+“，当气温为时:预测用电量均为

A.68度B.52度C.12度D.28度

4.（2022.全国•高三专题练习）关于线性回归的描述，有下列命题：

①回归直线一定经过样本中心点；

②相关系数，•的绝对值越大，拟合效果越好；

③相关指数R2越接近1拟合效果越好：

④残差平方和越小，拟合效果越好.

其中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2022•全国•高三专题练习）下列表述中，正确的个数是（）

①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；

②设有一个回归方程y=3-5x，变量*增加1个单位时，，平均增加5个单位；

③设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为，那么卜|越接近于o,x,y之间的线性相关程度越高；

④在一个2x2列联表中，根据表中数据计算得到K2的观测值3若k的值越大，则认为两个变量间有关的

把握就越大.

A.0B.1C.2D.3

6.（2022♦全国•高三专题练习（文））对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系

数，如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A.0.2B.0.8C.-0.98D.-0.7

7.（2022・全国•高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是

（）

-yb

35

30

25L•••

20

15

105

5•••

o...一

05101520253035X101520253035X

相关系数为八相关系数为「2

/V

35

30

25

20

15

10

5

O

5101520253035X5101520253035rjr

相关系数为「3相关系数为7

A.4<4<0<4<4B.r4<r2<0<7;<勺

C.〃<4<0<4<4D.r2<r4<0<rt<r,

8.（2022・全国•高三专题练习（理））如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上,

则下列说法错误的是（）

A.解释变量和预报变量是一次函数关系B.相关系数r=l

C.相关指数R2=lD.残差平方和为0

9.（2022♦全国•高三专题练习（理））对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比

较，正确的是（)

A.4<〃<0<勺<弓B.〃<q<O<G<G

C.r4<r2<0<r3<r]D.r2<r4<0<r]<r3

10.（2022♦全国•高三专题练习（理））变量x,y的线性相关系数为耳，变量加〃的线性相关系数为0，下

列说法错误的是（）

A.若㈤=0.96,则说明变量x,y之间线性相关性强

B.若4>4,则说明变量羽y之间的线性相关性比变量如“之间的线性相关性强

C.若0<弓<1,则说明变量x,y之间的相关性为正相关

D.若4=。，则说明变量x,y之间线性不相关

11.（2022・全国・高三专题练习（文））已知相关变量"”的散点图如图所示，若用》=4.11!（人力与'=5+4

拟合时的相关系数分别为《，4则比较小4的大小结果为（）

A.rt>r2B.4=4C.r}<r2D.不确定

12.（2022・全国•高三专题练习（文））在一组样本数据（xi,yi）,（X2,y2）,…，（xn,yn）（n>2,xi,X2,...,xn

不全相等）的散点图中，若所有样本点（x“yi）（i=l,2,…,n）都在直线y=gx+l上，则这组样本数据的样本

相关系数为（）

A.-1B.0C;D.1

2

13.(2022•全国•高三专题练习)如图，5个(x,y)数据，去掉。(3,10)后，下列说法错误的是()

•E(10,12)

0(3,10)

・C(4,5)

.*5(2,4)

A(l,3)

Ox

A.相关系数r变大B.残差平方和变大

C.R2变大D.解释变量尤与预报变量y的相关性变强

14.(2022・全国•高三专题练习)某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数

据如下表：

第X天12345

使用人数(y)151734578421333

由表中数据可得y关于x的回归方程为m=55/+机，则据此回归模型相应于点(2,173)的残差为()

A.—5B.—6C.3D.2

15.(2022•全国•高三专题练习)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生

育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

耳犬叫)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

下列结论正确的是()

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”

B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”

C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”

D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

16.（2022・全国•高三专题练习）2018世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市

入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客.现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”

是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表:

赞成“自助游”不赞成“自助游”合计

男性301545

女性451055

合计7525100

n(ad-bc)2

参考公式：K;其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

网片工）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

X02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参照公式，得到的正确结论是（）

A.有99.5%以上的把握认为“赞成，自助游，与性别无关”

B.有99.5%以上的把握认为“赞成，自助游，与性别有关”

C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“赞成'自助游’与性别无关”

D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成'自助游’与性别有关“

17.（2022•全国•高三专题练习（文））为了了解某高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110

名同学，得到如下列联表：

男女总计

喜欢402060

不喜欢203050

总计6050110

2

______〃(…〃)_______算得小=110(40x30-20x20)2

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)60x50x60x50'

P(K22k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”

C.有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”

D.有99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关”

18.（2022•全国•高三专题练习（文））为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生

作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：

9

8

7

6

5

4

3

2

1

根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）

A.样本中多数男生喜欢手机支付

B.样本中的女生数量少于男生数量

C.样本中多数女生喜欢现金支付

D.样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量

19.（2021•全国•高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、

女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图:

A.样本中的女生数量多于男生数量

B.样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱两理一文

D.样本中的女生偏爱两文一理

二、多选题

20.（2021・山东聊城•三模）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样

本点数据a，yj（，=i,2,…则下列结论正确的是（）

A.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心门,亍）

C.若以模型》=四床拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程z=6x+ln3,

则a,b的估计值分别是3和6.

支（％-力

D.用R2=1一•一~二来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线

讣-司

;=|

上，则a的值为1

21.（2021•辽宁朝阳•一模）关于变量x、y的〃个样本点（x”x）、（*2，必）、…、（%,%）及其线性回归方程：

¥=米+机下列说法正确的有（）

A.若相关系数「越小，则表示X、）的线性相关程度越弱

B.若线性回归方程中的则表示变量x、y正相关

C.若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好

—1"_]"______\

D.若彳=-2%,y=-£y,则点(x,y)一定在回归直线§=阮+%上

22.(2022♦江苏•高三专题练习)则下列说法正确的是()

A.在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；

B.在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；

C.若数据占，x2,x“的平均数为1,则2%,2々，…2x”的平均数为2；

D.对分类变量x与y的随机变量正的观测值上来说，出越小，判断“尤与》有关系”的把握越大.

23.(2022•全国•高三专题练习)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次

调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的女生喜欢抖音的人数占女生

人数|,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有()人

附表：

2

P（K>kn）0.0500.010

k3.8416.635

附：心——幽也——

(a+b)(c+d)(a+c)(i>+d)

A.25B.45C.60D.75

三、填空题

24.(2022•全国•高三专题练习)有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据:

近视不近视总计

少看手机154560

多看手机15520

总计305080

则在犯错误的概率不超过的前提下认为近视与多看手机有关系.

附表：

P（K2>k）0.150.100.050.0100.0250.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n\ad-hc)2

参考公式：K~=其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(Z?+d)'

四、解答题

25.（2022・全国•高三专题练习（文））近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业.据统计,

我市一家新能源企业近5个月的产值如下表:

月份5月6月7月8月9月

月份代码X12345

产值y亿元1620273037

（1）根据上表数据，计算V与x的线性相关系数人并说明V与x的线性相关性强弱；（Q75W6区1,则认

为y与元线性相关性很强；|r|<0.75,则认为y与X线性相关性不强）

（2）求出y关于X的线性回归方程，并预测10月该企业的产值.

//____

^x^-nxy^x^-nxy__

参考公式：'=受「二表，_25=&，H，"）’-嬴;

V/-=1V，=1i=l

参考数据：Ex,.y,.=442，X-\2=55,£y,2=3654,V2740«52.3.

r=lf=li=l

26.（2021•江西•模拟预测（文））某科技公司研发了一项新产品A,经过市场调研，对公司1月份至6月份

销售量及销售单价进行统计，销售单价》（千元）和销售量y（千件）之间的一组数据如下表所示：

月份i123456

销售单价天99.51010.5118

销售量力111086515

（i）试根据i至5月份的数据，建立y关于x的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千元，则认为所得到的回归直

线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

Yx-Ji-n-x-y

参考公式：回归直线方程》=加+3其中刃=上匕----------

Y^-nx2

i=l

55

参考数据：2善％=392,gx：=502.5.

i=li=l

27.（2022•河南•温县第一高级中学高三阶段练习（理））身高体重指数（BMD的大小直接关系到人的健康

状况，某高中高三（1）班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量

其身高、体重（数据如下表）并进行线性回归分析，得到线性回归方程为y=（）.9x-9（），因为某些原因，3

号学生的体重数据丢失.

学生编号12345

身高x/cm165170175170170

体重y/kg5862Z6563

（1）求表格中的Z值;

（2）已知公式丈=1-卷一~下可以用来刻画回归的效果，请问学生的体重差异约有百分之多少是由身

/=1

高引起的.（注：结果四舍五入取整数）

28.（2022.全国•高三专题练习）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载

火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，

发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的

重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改

造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：

序号123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

当0<x417时，建立了y与尤的两个回归模型：模型①：》=4.1x+10.9,模型②：》=21.36-14.4；当x>17

时，确定y与x满足的线性回归方程为3=-O.7x+&.

（1）根据下列表格中的数据，比较当0<xW17时模型①，②的相关指数炉的大小，并选择拟合精度更高、

更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+10.9y=2l.3^-14.4

£(%-订79.1320.2

»=1

（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预

测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收

益+国家补贴）的大小.

—y,）'

附：刻画回归效果的相关指数收=1-黑--------，且当代越大时，回归方程的拟合效果越好.J万Q4.1.

»=|

用最小二乘法求线性回归方程》=%+&的截距：a=y-bx.

29.（2021•河南•一模（文））近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植

高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的

数据，进行回归分析，得到两个回归摸型：模型①：y<l）=-1.65x+28.57,模型②：/与=变处，

对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：

种植面积X（亩）234579

每亩种植管理成本》

252421221614

（百元）

估计值

25.2723.6221.9717.0213.72

(1)

y

模型①

残差er-0.270.38-0.97-1.020.28

(2)

y26.8420.1718.8317.3116.46

模型②

(2)

6-1.840.833.17-1.31-2.46

(1)将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；

(2)视残差号的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对(1)中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后,

重新求回归方程.

附：---------，%=0.272+0.382+0.972+1.022+0.282=2.277

i=l

30.(2021•全国•模拟预测)婺源位于江西省东北部，其境内古村落遍布乡野，保存完整，生态优美，物产

丰富，拥有着油菜花之乡的美誉，被誉为一颗镶嵌在赣、浙、皖三省交界处的绿色明珠.为了调查某片实

验田3月份油菜花的生长高度，研究人员在当地随机抽取了13株油菜花进行高度测量，所得数据如下：

1=20.3，y=219.88,5=6.081i=0.32，£[-s)(y-夕)=55.76,-川y-y)=-8.4,

1=1/=1

22

£(.v;-5)=46.68,£(r,.-r)=0.84,S(y,「W=84.88.并通过绘制及观察散点图，选用两种模型进行

»=1'1=1'<=1'

拟合：

模型一：y=a+b>fx,其中令s=4；

模型二：y=c+—,其中令，=—.

xx

（1）求模型二的回归方程；

（2）试通过计算相关系数的大小，说明对于所给数据，哪一种模型更加合适.

参考数据：11.67x21.22=247.6374,0.21x21.22=4.4562,,247.6374=15.7365,>/44562«2.1110.

附：对于一组数据（4,匕），（卬匕），…，（",,#,3其回归方程；=£+/“的斜率和截距的最小二乘估计分别

_

-祖4-弓

相关系数，=-r=------;---------

31.（2021•陕西•西安中学高三阶段练习（文））我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到

2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金，现该

企业为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十

三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额占和年盈利额%的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：

①y=a+网2；②丫:/，“，其中均为常数，e为自然对数的底数.令%=l”（i=1,2,…,10）,经

计算得如下数据:

10.io.

之（玉-可-E（x-y）-

XyuV

i=l;=1

262156526805.36

10、1010io

2（%-江）（%一,）E（v,.-v）2

i=lf=li=l

112501302.612

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好；

（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（回归系数精确到0.01）.

t（x,T5-刃

附：相关系数,=下幽-------

JSU-^E（x-y）2

V/'=1（=1

元）（y-，）

线性回归直线方程y=Kr+a，其中附：。=上―-----------，a=^-bx.

SU--^）2

i=l

32.（2021•四川•成都七中一模（文））某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x（单位：万元）与年

利润增量y（单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量,

建立了y关于X的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y与X的线性回归方程：y=2.50x-2.50；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：y=的附近，对投资金额x做换元，令

10101010

t=inx,则y=b1+a,且有Z，尸22.00,Z%=230,t,y,=569.00,t；=50.92,

/=1/=11=1i=l

年利润增收？（万元）

45

4（）

35

30

25

20

15:

10.•

5・

°1234567891011121314151617181920

投资金额。(万元)

（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于犬的回归方程;

（2）分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）;

附:样本a，y・）（i=i，2,…的最小乘估计公式为方二上，----------,a=y-bT；参考数据:

2(—)2

i=l

ln2«0.6931,In5«1.6094.

33.（2021・云南师大附中高三阶段练习（文））近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势.一

方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染、空气污染、土壤污染的

重要来源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决

的重要问题研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提某研究团队收集了10组化肥施用

量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值化肥施用

量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

VI

10

8・•

6.

4..e

2；

~7)~2~4~~681012141618202224262830^

参考数据:

10101010io101010

口》Zx立ZjZz,

i=li=l1=11=1f=l1=1i=l/=!

65091.552.51478.630.5151546.5

表中4=In占,Z,=In=1,2,…,10).

（1）根据散点图判断，y=a+6与尸ex",哪一个适宜作为粮食亩产量V