2023年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年辽宁省抚顺市高考数学模拟试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={%|%2+2%-8<0},集合B={0,1,2,3},则集合4nB=()

A.[0,1,2}B.{1,2}C.[0,1}D.[1,2,3)

2.已知复数z满足zi=2-i(i是虚数单位)，则复数z的共朝复数W的虚部是()

A.2B.-2C.2iD.-21

3.甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择

一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是()

A.-8B.4-C.T3D.-2

4.已知4B是圆/+y2=2的直径，点P是圆。-a+1)2+(y—a—1)2=1的圆心，则方.

丽的最小值为()

A.-2B.-1C.1D.0

5.坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方B___________c

向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值.如图所/K/

示，已知斜ffiUBCD的坡度是1,某种越野车的最大爬坡度数是30。，乙二

4n

若这种越野车从。点开始爬坡，则行驶方向DE与直线的最大夹

角的度数为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.已知aes*),耕蟋*则tan2a的值是()

_3C,

A.-4B.j4J3心

7.己知双曲线C：普―£=1的焦点分别是0、&，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是

()

A.两■鹤的最大值为4B.瓯.鹤的最大值为2

C.西.声瓦的最小值为一4D.丽•配的最小值为一2

8.定义在R上的函数f(x)同时满足：①/(l+x)+f(l-x)=0,@/(-l+x)+/(-l-

%)=0,则下列结论不正确的是()

A.函数/(I+x)为奇函数B.(x-l)f(x)关于直线x=1对称

C./(2)+/(6)=0D.函数/(%)的最小正周期7=4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数

据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

频率

0.012

a

0.0061-

0.004

0.002

O255075100125150时间/min

A.频率分布直方图中的a的值为0.010

B.估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟

C.估计该校学生完成课后作业所用的时间在［50,75）的人数最多

D.估计该校约85%的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时

10.己知四棱锥P-4BCD,它的各条棱长均为2,则下面说法正确的是（）

A.其外接球的表面积为87rB.其内切球的半径为遍-企

C.侧面与底面所成角的余弦值为乎D.不相邻的两个侧面所成角的余弦值为J

11.设函数f（x）=^-ax,若函数/（x）有两个极值点，则实数a的值可以是（）

A.三B.lC.2D.-1

12.已知抛物线/=4y的焦点为尸，A、B是抛物线上两动点，过点4、B分别作抛物线的切

线，记两条切线的交点为P,则下列说法正确的是（）

A.F点坐标为（0,1）

B.若［48|=8,则线段4B中点到x轴距离的最小值为3

C.若同•丽=0，则直线4B过焦点F

D.若直线AB斜率为1,则|两|的最小值为2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在（；+2X）7的展开式中，含项的系数为_.

14.设等差数列｛。工的前律项和为国，若S3=8,56=30,则的值是—.

15.已知函数/（%）=3sinx+4cosxf且对任意实数%都有/（%）=/（2a-%）（aGR）,则sin2a

的值为

b

16.已知2a=3,3=4,c=-"：二晨，则在loga%，logaC，log6a,logbc,logca,logab这6个

数中，值最小的是—.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知△ABC中，点。在边4B上，满足诙=4(赢+赢)(4>0),且cos"李△C4D的面积

与△CBC面积的比为2乃：3.

⑴求sin4的值;

(2)若4B=5,求边4B上的高CE的值.

18.(本小题12.0分)

已知％是等差数列｛。工的前n项和，7；是等比数列｛九｝的前n项和，且臼=0,瓦=1,S2+T2=

S3+73=54+

(1)求数列｛%｝和｛%｝的通项公式;

(2)设d=忆11a2n|,求数列｛97｝的前n项和

19.(本小题12.0分)

学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小

时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进

行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女生组，对每周自

主体育锻炼的时间分段进行统计(单位：小时)第一段［0,2),第二段［2,4),第三段［4,6),第四

段［6,8),第五段［8,10］.将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

女

生

俄

H修

阳

依

9・

-•一男生0两间的柒事女生H*时间的

(1)求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；

(2)填写下列2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有

关？

体育迷非体育迷合计

男

女

合计

2

附.K2=n(ad-bc)

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>Ko)0.0500.0100.001

Ko3.8416.63510.828

(3)若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计

该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？(同一段中的

数据用该组区间的中点值代表)

20.(本小题12.0分)

如图，四棱锥S-4BC。的底面是正方形，点P,Q在侧棱SD上，E是侧棱SC的中点.

(1)若SQ=QP=PD,证明：BE〃平面PAC；

(2)若每条侧棱的长都是底面边长的近倍，从下面两个条件中选一个，求二面角P-4C-D的

大小.

①SD1平面P4C；②P为SC的中点.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：捻+、=l(a>b>0)的一个焦点坐标为(―1,0),A,B分别是椭圆的左、右顶

点，点。(无,y)在椭圆C上，且直线4。与BD的斜率之积为一反.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线2x+ty-3=0与椭圆分别相交于M,N两点，直线“0(。为坐标原点)与椭圆的另

一个交点为E,求aMNE的面积S的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=(%4-a)2+2lnx.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数/(X)有两个极值点%1，%2,且％1<%2，求证：%l<f(%2)V%2・

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A={x\x2+2x—8<0]={x|(x-2)(x+4)<0}={x|—4<x<2},

则4CB={0,1}.

故选：C.

先通过解一元二次不等式求集合4再求集合4、B的交集即可.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：设2=a+bi(a,b6R),

所以zi=(a+bi),i=-b+ai=2—i,即a=—1,b=-2,

故z=-l-2i,z=-l+2i,其虚部为2.

故选:A.

设2=a+bi{a,beR),利用复数得运算法则即可.

本题主要考查复数的四则运算，以及共辗复数和虚部的定义，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：基本事件总数n=4义4=16,事件4=“两名同学加入同一个社团”包含的基本事

件总数m=4,

・•・p⑷m

故选：B.

可得出基本事件总数n=16,事件力=”两名同学加入同一个社团”包含的基本事件总数m=4,

然后根据古典概型的概率计算公式求出P(4)即可.

本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：P是圆(x-a+I/+(y-a-1)2=1的圆心,

•••点P为直线x—y+2=0上的任意一点，

又同■PB=(PO+OA)-(Pd+OB')=Pd2+'Pd-(OA+OB)+OA-OB=\~Pd\2-2'

二当|而|最小时，两•丽的取值最小，

|P0|的最小值是圆心。(0,0)到直线％-y+2=。的距离，

即I而lmin=2=或，

(PA-PB)min=2—2=0.

故选：D.

运用向量加减运算和数量积的性质，可得或•而=|而『-2,再结合点到直线的距离公式即可

求解.

本题考查动点的轨迹方程的求解，向量数量积的最值的求解，直线与圆的位置关系，化归转化思

想，属中档题.

5.【答案】B

【解析】解：在越野车行驶方向上任取不同于。的点E,作E。垂直于过4D的水平面，垂足为0,

再作OF1.4。于F,连接EF,OD,如图，

AFD

于是E014D,而EOCOF=。，EO,OFu平面EOF,则力。1平面EOF,又EFu平面EOF,

因此EFJ.40,NEFO是斜面ABCD与过4。的水平面所成二面角的平面角，tan/EF。=1,即

乙EFO=45°,

因为越野车的最大爬坡度数是30。，即直线DE与过4。的水平面所成角NECO的最大值为30。，

令DE=s,在RtADOE中，E。的最大值为:s,^ERt^EOF^,EF的最大值为£s，

在DEF中，sin^EDA=而正弦函数y=sinx在(0怎)上单调递增，

DE2乙

因此4ED4的最大值为45。，

所以行驶方向DE与直线4。的最大夹角的度数为45。，B正确.

故选:B.

根据给定条件，在行驶方向上任取点E,作E0垂直于过AD的水平面，垂足为。，再作。尸1AD于F,

确定出二面角、线面角、线线角，即可计算作答.

本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：■:=，,sin2a+cos2a=1,

1+sc"o要s2a2

.l+sin2a_sin2a+cos2a+2sinacosa_tan2a+2£Qna+1_9

*'l+cos2a2cos2a22

••(tana—2)(tana+4)=0,

z-r3几、

•••aG(^y),

：•tana=2,

2tana

・•・tan2a4

1-tan2a3

故选：C.

利用弦化切先得出tana,再利用正切的二倍角公式得tar12a.

本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：根据题意，6，「2的坐标为(0,遍),(0,-遍)，设点P的坐标为(x,y),则xCR,

故PF；-PF；=(­x,V6-y)"(—x,—76-y)=x2+y2-6，

又y2=4(1+当=4+2/,故两.陋=x2+4+2x2-6=3x2-2,

又x€R,故当x=0时，取得最小值-2,且其没有最大值，

故两•7瓦的最小值为-2,无最大值.

故选：D.

设出点P的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.

本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：定义在R上的函数/(x),由/(I+x)+f(l-x)=0,得：f(l4-x)=-f(l-x),即

函数/'(1+x)为奇函数，A正确；令g(x)=(%-l)/(x),

则g(l+x)-g(l-%)=xf(l+x)-(―x)/(l—x)=%[/(I+x)+/(I—x)]—0,

因此函数g(x),即(x-l)f(x)的图象关于直线x=1对称，8正确；

由/'(l+0+ZXl—x)=0,得：f(x)+f(2—x)=0,由/1+x)+/(-1—x)=0>得：f(x)+

/(-2-x)=0,

于是f(2-x)=/'(—2-x),即/(x+4)=/(x),所以函数f(x)的周期7=4,。正确；

由f(1+%)+/(I-x)=0,知f(0)+/(2)=0,显然由给定条件12)的值不确定,又/(6)=/(2),

因此f(2)+f(6)=2/(2)不确定,C错误.

故选：C.

根据给定条件，利用奇偶函数的定义判断4,B；

探讨函数/(约的周期性判断C,。作答.

本题考查了抽象函数的对称性、周期性、奇偶性，也考查了逻辑推理能力，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4频率分布直方图中小长方形的面积之和为1,组距为25,

所以(0.004+0.006+0.012+a+0.006+0.002)X25=1,解得a=0.010,故4正确；

对于B,该校学生完成课后作业所用的平均时间为(0.004x与+0.006X与+0.012x竽+

0.010X签+0.006X等+0.002X等)X25=71.25,故B错误；

对于C,由频率分布直方图可知该校学生完成课后作业所用的时间在［50,75)的人数最多，故C正

确；

对于D,由该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率为(0.006x得+0.002)x25x

100%=8%,

所以该校学生完成课后作业所用的时间不超过2小时的频率为1-8%=92%,故。错误.

故选：AC.

根据频率分布直方图中小长方形的面积之和为1,组距为25,即可求得a的值，进而即可判断4

根据平均数的计算方法即可判断B；根据频率分布直方图即可判断C；先计算该校学生完成课后作

业所用的时间超过2小时的频率，从而可得到不超过2小时的频率，进而即可判断。.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：如图，设正四棱锥底面的中心为。，则

在直角三角形ABC中，AC=&xAB=2五，

AO=CO—V2,

在直角三角形PA。中，PO=>JAP2-AO2=V2.

•••正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为方，

二正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=V2,

球的表面积S=4汨-2=8?r,故A正确；

设底面的中心为。，连接C。，P0，则。。=&，PO=V2，

设四棱锥的内切球的半径为r,连接E4EB,EC,ED,EP,

得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r,

^P-ABCD=^O-ABCD+^O-PAB+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD>

即gx2x2x或=gx2x2r+4xgxV3r,

解得「=匹券，故B错误；

解：如图，设正四棱锥S-力BCD的所有棱长均为2,

过。作。F_LBC,交BC于F,连结PF,

则由三垂线定理知：

4PF0是侧面PBC与底面力BCD所成二面角的平面角,

由题意知PF=人22—F=OF=1,

cos/.PFO=空=室故C正确；

PF3

••,正四棱锥的侧棱长与底面边长都是2,

设不相邻的两个侧面所成角为s，

侧面的斜高为：h=2xsin60°=V3.

cosB==工,故。正确.

产2xhxh3

故选：ACD.

正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面

积公式求解可判断4设四棱锥的内切球的半径为r,由题可得：x2x2xV5=：><2x2r+4x

|xV3r,进而可判断B；设正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2,过S作S。1面ABCD,垂足为。，

过。作。E1BC,交BC于E,连结SE,则由三垂线定理知4SE。是侧面SBC与底面4BCD所成二面

角的平面角，由此可判断C;作出相邻的两个侧面所成的二面角，然后用余弦公式，进行求解可

判断D.

本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间几何体的外接球与内切球，解题时要认真审题，注意

空间思维能力的培养，属中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：函数/"(X)的定义域为(0,1)U(l,+8),=

因为函数/(x)有两个极值点，

则方程f'(x)=0,即a=焉J在(°」)U(1，+8)内有两个变号零点，

令t=伍》,xE(0,1)u(1,+00),则IW(―8,0)U(0,+8),

令9©=詈=一(1犷+[,

若即0<tW2,函数y=-GT)2+3听eg+8)单调递减，g(t)的取值集合是(―8曲,

若0<34,HPt>2,函数5=一(>扔+涧注(0市单调递增,g(t)的取值集合是(0白，

当t<0时，1<0,g(t)的取值集合是(-8,0),当t>0时，1>0,

依题意，方程a=g(t)在t£(一8,0)U(0,+8)内有两个不等实根，即直线y=a与函数y=g(t),

C00的图象有两个公共点，

在同一坐标系内作出直线y=a与函数y=g(t)，t。0的部分图象，如图，

观察图象知，当a<0或0<a</时，直线y=a与函数y=g(t),tRO的图象有两个公共点，

于是当a<。或0<a<［1时，a=而lnx—a1在(0,1)u(1,+8)内有两个变号零点，

所以实数a的取值范围是a<0或0<a<：,即a的值可以是除一；，选项AC不满足，BD正确.

4o4

故选：BD.

求出给定函数的定义域及导数，利用导函数有两个不同的零点，求解作答.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求

解能力，属于中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：对于4抛物线/=4y的准线方程为y=-l,焦点F(0,l),故4正确；

对于B：设A(Xi，q),B(X2，］)，当直线AB过交点F(0,l)时，设直线48：y=kx+l,

v—kx1

2_4，整理得%2--4=0,则％i+%2=4k,=-4，\AB\=Vl+k2-

{x—4y

22

A/(X1+X2)-4X1X2=4(1+fc)>4,当且仅当k=0时取等号，

又|48|=8>4,即此时直线4B可以过焦点F,8=\AB\<\AF\+\BF\=71+1+y2+1=yx+

y2+2,当且仅当直线过焦点户时取等号，

••.、1+%26,即线段AB中点到x轴距离空23,即最小值为3,故3正确；

对于C：由题意得y=)产，则y，=9x,设点PQo，%)，则直线PA斜率工乂=?-%,直线PB斜率

4221一狙-比

乌

1_

=----

2/x2-xQ

方=Q1_xo,^~、0)，丽=(“2-殉，,-yo>~PA-PB=(x1-x0)(x2-x0)+(7-y0)(7-

y0)=(久1-Xo)(X2-々)+竿(X1-%0)(%2—久0)=0,解得X1%2=-4，

又弱=(%1，7-1),丽=(%2*且_彳2(1_1)=-x2-Xi-(-X1-x2)=0，

故瓦？〃而，则直线48过焦点F,故C正确；

y

对于0：...工久_T-o,xf-2x1x04-4y0=0,同理可得以-2%2%o+4y()=0,

1

・2%i-x0

则％i，不是方程是-2%o%+4yo=0的两个实数根,则%1+%2=2&,x±x2=4y0,

｛：v2==%44y-??i，整理得/一4%-4机=0,

则A=16+16m>0,解得m>-1,

•••%i+x2=4,=-4m,则2x()=4,4yo=-4m,即x()=2,y0=-m,

222

\PF\=7(x0-0)+(y0-l)=74+(m+l)>2,即|两|无最小值，故D错误，

故选：ABC.

求出焦点坐标判断4设出点4,B的坐标及直线4B方程并与抛物线方程联立，结合定义计算判断

B；利用导数求出切线斜率，结合向量运算计算判断C；求出点P的坐标关系计算判断。作答.

本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】448

【解析】解：由题意，其展开式的通项为图+1=C；(i)7-r(2x)r=2rC^x2r~7,

令2-7=5,解得r=6,则含I的系数为26g=448.

故答案为：448.

根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

14.【答案】y

【解析】解：•••等差数列｛厮｝中，53=8,S6=30,

Q4+。5+。6=S&S3—22,

22

二3a5=22,・•・a5=—,

故答案为:y.

利用等差数列的通项公式，等差数列的前几项和公式求解即可.

本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题.

15.【答案】g

【解析】解：已知函数/(%)=3sinx+4cosx,且对任意实数%都有/(%)=f(2a-%)(aGR),

则函数f(%)的图象关于直线％=a对称，

又函数f(%)=3sinx+4cosx=5sm(x+(p),其中tern租=

令》+(p=kn+与kEZ,

则函数/(%)的对称轴方程为％=+k£Z,

即Q=fc/r+—9，kEZJ

8

则sin2a=sin(2/c7r+乃一2(p)=sin2a=—?即；=?=裳.

',Jcos2a+sin2al+tan2a1+竽25

故答案为：|^.

由三角函数的性质，结合二倍角公式求解即可.

本题考查了三角函数的性质，重点考查了二倍角公式，属基础题.

16.【答案】log》c

【解析】解：由/。。3〃243=|<b=log34<log3y/27=|=log2Vs<a=log23<log2V128=，

且a6=log23xlog34=log23x瞿g=2,

I<b<|<a<J喘>1,

构造丫=呜_:|,令1=Jje(i,+8),则/>©=2m

•••f(t)在(l,+8)上递减，/(t)</(I)=0,

.a?-1Ina—lnb,1V2

537

综上o<c<<<b<<a<

V24-2-4-

6个数中，正数有logab,log》。，负数有logc。<logcb<0,o>logac=痴《>logbc=丽飞,

・,•只需比较logc。，10gbe大小,

log.aI,,.7

lo

又记77=1°及出。。沈,而，。仇力=9c-=1ogc2-logca,

・•・=logaxlog2-log1a=-(^loga-logy[2)2+=log2V2,

l09bccccc勺一c

由log四混=-1<logc\[2<0,

T

log^y/2<1,0<<1,logca>logfcc,

综上,在logab，logac,logba,logbc,logca,log的这6个数中，值最小的是log*.

故答案为：10gbC.

.a?-1

利用对数的性质得［<b<l<a<（且ab=2,构造丫=-并且利用导数研究其在（1,+00）

£

537

<c<V2<<<<a<

上的单调性可得色寄<焉，进而有024-2-4-结合6个数的正负只需判

断logc。、log八大小，作商法，^=logcaxlogc2-logla,判断与1的大小关系，即可得到答

LO9bc

案.

本题考查对数的性质、运算法则、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：（1）•••点。在边4B上，满足方=4（福+赢）（4>0）,

CO为N4CB的平分线，

又•••△C4D的面积与△CBD面积的比为2乃：3,

・•・由角平分线定理可知，经=黑=孚，

CBBD3

••.由正弦定理得陋=例=辿，且B>4

sinACB3

B

乂T7•・•cos-=—V6，

B1

・•・cosB=2cos9£--1=-,

sinB=且B为说角，

.4

・•・sinA=—V3;

(2)由⑴知4为锐角，且cosA=V1—sin2y4=亨,

•・•4+8+C=TT,

:.cosC=-cos(/4+8)=~(cosAcosB-sinAsinB)=—,

XvAC=孚BC，cosC=络

.•.在△ABC中,SC?+(孚BC)2-28Cx"BCx普=52,解得BA=3,

339

故CE=BCsinB=3x苧=2VL

【解析】(1)由已知条件可得，CD为N4CB的平分线，再结合角平分线定理，以及正弦定理，二倍

角公式，即可求解；

(2)先求出cosA,再结合余弦的两角和公式，求出cosC,并运用余弦定理，即可求解.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为$2+72=$3+73=S4+A，

所以户3-52+73—72=0[a+b=0

所以氐一S3+74一73=0'叩glJQ3+643=0'

设数列｛4｝的公差为d,数列｛与｝的公比为q(q丰0),

则鼠：3二;'解得q=|，d=-l，

n-1

所以须=，(n_1)，bn=(|).

Q

(2)由⑴知，e|=(n-l),

所以2震11a2nl=|[1+3+5+•••+(2n-1)]=|xn(1+^w~1：>=1n2,

n,

所以cn=StliIa2nl=~>=1

、

因Hll此b耘1工=疝6而4用=五64年A一而1)，

n64-1,11,,11、64n

所以治=五*(1_2+2-§+-一+7-不)=^^.

【解析】(1)利用等差、等比数列的通项公式求得公差d和公比q(q40),即可得解：

(2)由等差数列的前般项和公式，推出1n,再采用裂项求和法，即可得解.

本题考查数列的通项公式与前n项和公式，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，裂项求和法是解

题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题意可得?n=1-0.04-0.20-0.24-0.16=0.36,

女生共有1+4+5+12+3=25人，“体育迷”有12+3=15人，

男生有100-25=75人，“体育迷”有75X(0.24+0.16)=30人.

估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为需=45%.

(2)根据题目所给数据得到如下2x2的列联表:

体育迷非体育迷合计

男304575

女151025

合计4555100

100(30x10-15x45)2

K2=x3.030<3.841，

45x55x75x25

故没有95%的把握认为是否为“体育迷”与性别有关.

(3)由题意可知，男生的锻炼时间在每组的频数分别为75x0.04=3,75x0.20=15,75x0.36=

27,75x0.24=18,75x0.16=12；

故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为盖=0.04,盖=0.19,督=0.32,

12+18n3+12n

E=E=°,5；

所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：1x0.04+3x0.19+5x0.32+7x0.30+9x

0.15=5.66,

因为5.66>5,

所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平.

【解析】(1)由折线图的性质可求加，由频数统计图求女生人数，再求男生人数，和男生和女生中

的体育迷的人数，由此可求该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；

(2)由已知数据填写列联表，由公式求K2的值，与临界值比较大小，确定结论；

(3)由已知数据求该校高一年级学生的周平均锻炼时间的估计值，由此确定结论.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

20.【答案】解：(1)证明：连接BD,设交点为。，连接BQ,QE,OP,

在ASCP中，点E是SC的中点，点Q是线段SP的中点，;QE〃PC,

又PCu平面P4C,且QEC平面P4C,

B

QE〃平面PAC,

在ASQ。中，点。是线段8D的中点，点P是线段DQ的中点，所以QB〃OP,

又OPu平面PAC,且QB仁平面R4C,

QB〃平面P4C,又BQC\EQ=Q,且BQ,EQu平面BEQ,

平面BEQ〃平面PAC,又BEu平面BEQ,

BE〃平面P4C；

(2)若选①SD1平面PAC,连接SO,

v4BCD为正方形，.••点0分别为4c与BD的中点，

又易知SB=SD,SO1B。，同理S0_L4C,

又BDCAC=。,.一。，平面ABCD,

.•.以OC,OD,OS所在直线分别为x,y,z轴，建系如图，

设。C=l,贝iJCD=VLSC=2,OS=V3./-SCO=60°,

•••C(l,0,0),4(一1,0,0),D(0,l,0),

B(0,-l,0),S(0,0,V3)，SD=(0,1,-V3)，

vSD1平面P4C,•••平面R4C的一个法向量为而=(0,1,-V3).

显然平面D4C的一个法向量为底=(0,0,1),

设二面角P-AC-。的平面角为0,

•••皿蚱|骷|=今二。71

6;

若选②P为SD的中点，连接S。,

•••4BCD为正方形，.•.点。分别为4C与BD的中点,

由题意SB=SD,二SO1BD.同理S0J_4C,

又BDC\AC=0,•­•SO上平面ABC。.

.•.以OC,OD,OS所在直线分别为x,y,z轴，建系如图,

设OC=1,则CD=&，SC=2,OS=V3»NSCO=g,

C(l,0,0),4(-1,0,0),D(0,l,0)，

B(0,-l,0),S(0,0,V3).P(0,渭),

则方=(1；,当,CP=(-l,i,y)>

设平面4PC的法向量为刀=(x,y,z),

z

1

O

V3

+

一+

(

2

Z

y

X

=

-

-

2

)

HI

J石

U

H

<

^

1

l).

,V3,-

=(0

取厄

l而

o

+

z

y

=

=

-

k

V3

2

2

.

,0,1)

=(0

为芯

向量

个法

C的一

面ZM

显然平

为。,

平而角

一。的

—4C

角P

设二面

-

,-a

1

I