2022-2023学年湖南省怀化市文溪中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市文溪中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数与轴的交点为(0,1)，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.椭圆的焦距为

A.10

B.5

C.

D.参考答案：略3.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（

）A．旅游总人数逐年增加B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C．年份数与旅游总人数成正相关D．从2014年起旅游总人数增长加快参考答案：B从图表中看出，选项明显错误．4.集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．? D．{x|2≤x≤7}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知中集合M={x||x﹣3|≤4}解绝对值不等式，可以求出M，N={y|y=}，根据函数的值域，可以求出N，进而代入集合的交集及其运算，求出M∩N．【解答】解：M={x||x﹣3|≤4}={x|﹣1≤x≤7}，对于N={y|y=}，必须有故x=2，所以N={0}M∩N=N={0}故选A5.《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱参考答案：A【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．6.偶函数f（x）满足，且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=在上根的个数是A.1个

B.2个

C.3个

D.5个参考答案：C由得所以函数的周期又函数为偶函数，所以，所以函数关于对称，，在同一坐标系下做出函数和的图象，如图，由图象可知在区间上，方程根的个数为3个，选C.7.若为等差数列的前n项和，，则与的等比中项为(

)A．

B．± C．4

D．±4

参考答案：B略8.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B略9.设集合A={x∈Z||x|≤2}，，则A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出根据A、B的范围，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．10.若，规定：，例如：，则函数

（

）A．是奇函数不是偶函数

B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是

参考答案：略12.在中，若=°,∠B=°，BC=，则AC=

参考答案：略13.已知函数则=_______________．参考答案：14.已知函数，且，则当时，的取值范围是_______________.参考答案：[，]

略15.观察系列等式，由以上等式推出出一个一般性的结论：对于，

参考答案：由于，则16.设若，，则的

值是

.参考答案：217.是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是

．参考答案：解：当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．

因为A（-1，1）、B（2，-4），所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a∈R，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；（2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①当a=1时，f′（x）=（x﹣1）2≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；②当a＜1时，当x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，当a＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；③当a＞1时，当x＜1或x＞a时，f′（x）＞0，当1＜x＜a时f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．综上，当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减；当a=1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．（2）由（1）知，当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减，所以f（x）在[0，1），（a，a+1]内单调递增，在（1，a）内单调递减，则f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1），因为f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），所以，则，化简得，解得，所以a的取值范围是（1，2）．【点评】本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题．19.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意的实数恒成立，记实数M的最大值是m．

（1）求m的值；

（2）解不等式参考答案：（I）不等式恒成立，即对于任意的实数恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值． …………2分因为，当且仅当时等号成立，即成立，也就是的最小值是2． …………5分

（2）解法1：利用绝对值的意义得：解法2：当，所以x的取值范围是解法3：构造函数的图象，利用图象有得：…………10分20.已知函数，（＞0，，以点为切点作函数图像的切线，记函数图像与三条直线所围成的区域面积为。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：＜；（Ⅲ）设为数列的前项和，求证：＜.参考答案：）解：（Ⅰ）易知，切点为，则方程为即∴=（Ⅱ）构造函数，（≥0）则即函数，（≥0）单调递减，而∴，等号在时取得，∴当＞0时，＜成立∴知＜∴=＜（Ⅲ）＜＜∴当时，=＜；当时，＜＜方法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同方法一；（Ⅲ）由（Ⅱ）知＜，

（）又,

,∴综上所述：对一切，都有＜。略21.（12分）

育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.参考答案：解析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为………………4分（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………8分（Ⅲ），，第二同学的实验更稳定………12分22.（12分）如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图．（1）求该几何体的体积V；（2）证明：BD∥平面PEC；（3）求平面PEC与平面PDA所成的二面角（锐角）的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）判断几何体底面ABCD是边长为4的正方形，四边形APEB是直角梯形，求出底面面积以及高，转化求解几何体的体积即可．（2）取PC的中点F，连接BD与AC交于点M，连接FM，EF．证明EF∥BM，推出BD∥平面PEC．（3）以BC，BA，BE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PDA的一个法向量．平面PEC的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）解：由三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，四边形APEB是直角梯形，PA⊥平面ABCD，CB⊥平面APEB，PA=AB=2EB=4，CB=4．连接AC，∴=．（2）证明：如图，取PC的中点F，连接BD与AC交于点M，连接FM，EF．∴，∴FM∥EB，FM=EB，故四边形BMFE为平行四边形