工程力学-动力学

动力学2动力学(dynamics)小绪动力学的任务

在运动学和静力学中，已经分别研究了对物体运动的描述和物体的受力分析及力系的简化方法，但没有涉及物体的运动与其所受到的力之间的关系。

分析运动和力之间的关系是动力学的研究任务。质点动力学与质点系动力学(1)质点动力学：3牛顿运动微分方程(2)质点系动力学：

对于质点系动力学，原则上说，可以对系统中每个质点列写牛顿运动微分方程，再联立表述各质点间联系方式的约束方程和运动的初始条件，则质点系的动力学问题就可以解决。质点系有Di个质点(i=1,2,…,n,…∞)4

但是，由于质点系中质点很多或无穷多，其约束方程不仅可能形式复杂，而且可能数量庞大，甚至无法一一写出；就连空间中以万有引力为相互作用力的3个质点，在已知其初始位置和初始速度的前提下，确定3个质点在任何时刻的位置和速度这样一个看似简单的三体问题，至今也未得到解决。

因此，这种方法在具体解题时，往往会遇到数学上难以克服的困难，是不现实的。

同时这种方法也不一定是必要的，因为通常并不需要知道质点系中各质点的运动情况，而只需知道质点系整体运动的特征就够了，例如对于刚体，只需确定其质心的运动和绕质心的转动即可。

能够表征质点系运动的特征量有动能、动量和动量矩。5动力学的两类基本问题(1)动力学的正问题(formalproblemofdynamics)：

已知力求运动，称为动力学的第二类问题，也称动力学的正问题。

已知运动求力，称为动力学的第一类问题，也称动力学的反问题或逆问题；(3)解决动力学问题的基本方法：

为了解决这两类问题，必须对研究对象建立表述作用力与物体运动特征量之间关系的运动微分方程，这就需要寻找便于列写系统动力学运动微分方程的方法，这正是本章和后续几章需要解决的问题。

由于牛顿第二定律只在惯性参考系中才能成立，因此约定：动力学问题中的参考系，除特别声明，均为惯性参考系。(2)动力学的反问题（逆问题）(inverseproblemofdynamics)：6第19章动能定理(theoremofkineticenergy)5学时§19.1

质点系质量分布的特征

19.1.1质点系的质量和质量中心

19.1.2刚体的转动惯量§19.2

动能§19.3

动能定理

19.3.1质点的动能定理

19.3.2质点系的动能定理

19.3.3机械能守恒定律作业19.519.819.1019.1119.1419.1619.187第19章动能定理(theoremofkineticenergy)动能(kineticenergy)

物体由于作机械运动而具有的作功能力，称为动能。(1)既是物体作机械运动的一种度量；(2)物体的机械运动与其他形式的运动存在能量相互转化时的度量。动能定理(theoremofkineticenergy)

动能定理阐述的是物体动能的变化与作用力的功之间的关系，它在动力学问题中占有相当重要的地位。8第19章动能定理(theoremofkineticenergy)§19.1

质点系质量分布的特征量

质点系的动力学特征与质点系的质量分布密切相关。质点系质量分布的两个特征量(1)质点系的质量中心：

描述质点系有关平移的动力学特征量。(2)质点系的转动惯量：

描述质点系有关转动的动力学特征量。919.1.1

质点系的质量和质量中心质点系的质量(mass)

设质点系由n个质点Di

(i=1,2,…,n)组成，第i个质点的质量为mi。

将质点系各质点的质量总和，定义为质点系的质量，用m表示(19.1)质点系的质量中心（质心）(centerofmass)

若质量为mi的第i个质点相对某确定点O的矢径为，由下式确定的矢径所对应的点C称为质点系的质量中心，简称质心。(19.2)10质心的直角坐标公式

若在点O建立直角坐标系Oxyz，则质心C的直角坐标公式为(19.3)其中xi,yi

,zi为质点Di的直角坐标。注意：

质点系的质心不一定与质点系中某个质点重合，它只是表示质点所在空间中的一个几何点，当质点系中各质点位置发生改变时，其质心的位置一般也随之改变。1119.1.2

刚体的转动惯量(1)转动惯量(momentofinertia)

将刚体内各质点的质量与该质点到某一确定轴l的距离平方的乘积之和，定义为刚体对l轴的转动惯量，用Jl

表示。(19.4)其中mi,ρi分别为第i个质点Di的质量和到该轴的距离。转动惯量(momentofinertia)

刚体的质量连续分布：(19.5)其中ρ

—质量dm的微元到该轴的距离，m—积分范围遍及刚体全部质量。

刚体的转动惯量与其运动状态无关，仅与刚体的质量分布有关的特征量，且Jl

≥0。12回转半径（惯性半径）(radiusofgyration)(19.6)其中m—

刚体的总质量；ρz—

刚体对z轴的回转半径或惯性半径。Jz—将刚体的全部质量都集中于距z轴为ρz的某一点时，对z轴的转动惯量。刚体对直角坐标轴的转动惯量

若在某一刚体上或其延拓部分的点O建立一个与该刚体固连的直角坐标系Oxyz，设质量为dm的微元的坐标为(x,y,z)，则该刚体对x,y,z轴的转动惯量为(19.7)13规则几何形状的均质刚体的转动惯量

各种有规则几何形状的均质刚体的转动惯量可直接计算得到，也可以从工程手册中查到。

附录IV中列出一些常见的简单形状的均质刚体的转动惯量。

对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量一般可根据某些力学规律用实验方法进行测定。例题19.1例题19.214(2)转动惯量的平行轴定理(theoremofmomentofinertiaaboutparallelaxes)

刚体的转动惯量与轴的位置有关，一般的工程手册中给出的都是刚体对过质心C的轴的转动惯量。

但有时需要求刚体对平行于质心轴的其他轴的转动惯量，为此给出“转动惯量的平行轴定理”。设z轴为所求转动惯量的轴，如图所示建立直角坐标系Oxyz。Oxyz建立质心直角坐标系Cx’y’z’，与Oxyz的相应轴平行。Cx’y’z’(a,b,c)15设z轴与z’轴之间的距离为d，则(19.8)上式表明：

刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积，称为转动惯量的平行轴定理。

刚体对一系列平行轴的转动惯量之中，对质心轴的转动惯量的值最小。注意：质心轴的转动惯量

刚体对任意两根平行轴的转动惯量之间的关系，必须通过一根与它们平行的质心轴由式(19.8)间接导出。16刚体转动惯量的叠加原理

由转动惯量的定义知，刚体的转动惯量符合叠加原理。根据转动惯量的平行轴定理和叠加原理：(1)由几个简单几何形状组合而成的刚体对任意轴的转动惯量；(2)若刚体有空心部分，则只要将刚体看成是无空心整体再叠加质量为负的空心部分即可。例题19.317(3)刚体对任意轴的转动惯量的转轴公式lAxyz(19.9)dm(x,y,z)(19.11)(19.10)(19.12)(19.13)定义惯性积(productofinertia)：(19.14)表征刚体对直角坐标系Axyz的质量分布状况的物理量，其值“+,0,-”。18(19.15)矩阵形式：(19.16)刚体对任意轴的转动惯量的转轴公式刚体对任意轴的转动惯量的转轴公式19惯量矩阵(matrixofinertia)(19.17)实对称矩阵

对于确定的刚体和确定的与刚体固连的直角坐标系来说，它的各元素都为常数，即与刚体的运动无关。

将Jx,Jy,Jz,Jxy,Jyz,Jxz称为刚体对点A的6个特征惯量。

矩阵[J]也称为刚体对点A的惯性矩阵。20(4)主转动惯量惯量主轴（惯性主轴）(principalaxisofinertia)

如果与某一轴，如直角坐标系Axyz

中的z轴有关的两个惯性积Jyz,Jxz

均为零，则称z轴为刚体对点A的一根惯量主轴或惯性主轴。主转动惯量(principalmomentofinertia)

刚体对惯性主轴的转动惯量，称为主转动惯量。中心惯量主轴(centralprincipalaxisofinertia)

过质心的惯量主轴，称为中心惯量主轴。中心主转动惯量(centralprincipalmomentofinertia)

刚体对中心惯量主轴的转动惯量，称为中心主转动惯量。21

对于刚体上或刚体的延拓部分的任一点A，都存在3根惯性主轴，对应的3个主转动惯量就是惯性矩阵[J]的3个特征值。

求解实对称矩阵的特征值和特征向量，其运算过程一般比较复杂。

当刚体质量分布具有对称性时，惯性主轴容易由下面的两个定理判断：定理1

如果刚体具有质量对称轴，则该轴是刚体对轴上任意一点的一根惯量主轴，同时也是刚体的一根中心惯量主轴。定理2

如果刚体具有质量对称面，则垂直于该对称面的任意一轴必为刚体对该轴与对称面交点的一根惯量主轴。证明略。P180证明略。P18022§19.2

动能(kineticenergy)质点的动能

质点的动能T≥0的标量。

将质点系中各质点的质量的动能之和，定义为质点系的动能。或(19.24)质点系的动能或(19.25)平移刚体的动能(19.26)平移刚体上各点速度均相同23定轴转动刚体的动能(19.27)定轴转动刚体对定轴的转动惯量解释：若将质量称为平移惯量，那么平移刚体的动能等于平移惯量与其线速度大小平方的乘积的一半；定轴转动刚体的动能等于对定轴的转动惯量与其角速度大小平方的乘积的一半，两者形式上十分相似。24柯尼希(König)定理(Konigtheorem)

设质点系的质心为C，

定系：直角坐标系Oxyz，

动系：质心平移直角坐标系Cx’y’z’，

动点：质点系中各质点。(19.28)25(19.29)

设质点Di相对于质心的矢径为(i=1,2,…,n)

则质心相对于自身的矢径为零(19.30)(19.31)(19.32)26上式表明：

质点系的动能等于将质点系的质量全部都集中于质心时质心的动能，再加上质点系相对于质心平移坐标系的动能，称为柯尼希定理。一般平面运动刚体的动能

将柯尼希定理应用于作一般平面运动刚体。

设平面运动刚体的角速度为，CzDi(i=1,2,…,n)(19.33)27一般平面运动刚体对Cz轴的转动惯量(19.34)一般平面运动刚体的动能计算公式vC

和ω分别为作一般平面运动刚体的质心的绝对速度和刚体的绝对角速度。注意：

设P为一般平面运动刚体的速度瞬心，(19.34)一般平面运动刚体的动能的另一计算公式28JP——一般平面运动刚体对过速度瞬心P并垂直于其运动平面的轴，即瞬时转轴的转动惯量。上式表明：

作一般平面运动刚体的动能可由瞬时定轴转动的形式给出。例题19.4例题19.5例题19.6例题19.729§19.3

动能定理

质点或质点系的动能改变量与作用力的功之间的数量关系。动能定理(theoremofkineticenergy)(theoremofkineticenergy)19.3.1

质点的动能定理质点动能定理的微分形式

牛顿第二定律：30作用于质点上的合力的元功

则(19.36)上式表明：

质点动能微分等于作用于质点上的合力的元功，称为质点动能定理的微分形式。质点动能定理的积分形式

设在时间t1至t2的过程中，质点由位置1沿路径L运动至位置2，其速度由变成，(19.37)上式表明：

质点在某一运动过程中，动能的改变量等于作用于质点上的合力在同一运动过程中所作的功，称为质点动能定理的积分形式。增量形式有限形式3119.3.2

质点系的动能定理质点系动能定理的微分形式(i=1,2,…,n)(19.38)上式表明：

质点系动能的微分等于作用于质点系上的各力（外力和内力）的元功的代数和，称为质点系动能定理的微分形式。增量形式32质点系动能定理的积分形式

设在时间