2022-2023学年初三数学下册课件：28.2-解直角三角形及用教学设计

2023学年初三数学下册课件(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编解直角三角形的应用一、选择题1.（2011•南通）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为m（结果保留根号）.考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：探究型。分析：先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60，故答案为：30.点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．2.（2011台湾，34，4分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（） A．QUOTE B．16＋π C．18 D．19考点：解直角三角形的应用；钟面角。专题：几何图形问题。分析：根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出A′A＝3，得出答案即可．解答：解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A′0O＝6，则钟面显示3点50分时，∠A′OA＝30°，∴A′A＝3，∴A点距桌面的高度为：16＋3＝19公分，故选：D．点评：此题主要考查了解直角三角形以及钟面角，得出∠A′OA＝30°，进而得出A′A＝3，是解决问题的关键．3.（2011江苏扬州，25，10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°.(1)求垂直支架CD的长度。（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据：，）考点：解直角三角形的应用。专题：几何图形问题。分析：（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=QUOTE，求出CD的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=QUOTEAO，在代入数计算即可得到答案．解答：解：（1）∵DE=76厘米，∠CED=60°，∴sin60°=QUOTE=QUOTE，∴CD=38QUOTEcm，（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（38QUOTE+x）厘米，AO=（150+x）厘米，∵∠BAC=30°，∴CO=QUOTEAO，38QUOTE+x=QUOTE（150+x），解得：x=150﹣76QUOTE=150﹣131.48≈18.5cm．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系4.（2011•西宁）某水坝的坡度i=1：QUOTE，坡长AB=20米，则坝的高度为（） A、10米 B、20米 C、40米 D、20QUOTE米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：计算题。分析：画出图形，根据坡度的定义﹣﹣﹣直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答．解答：解：如图：∵坡度i=1：QUOTE，∴设AC=x，BC=QUOTEx，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，则x2+（QUOTE）2=202，解得x=10．故选A．点评：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．5.（2011年山东省东营市，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A、5米B、10米C、15米D、10米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；

∴AC=BC÷tanA=5米；

故选A．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．6.（2011山东省潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙，丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)．则四名同学所放的风筝中最高的是()．同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可．【解答】解：如图，

甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；

乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50≈70.71m；

丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=≈67.18m；

丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45≈77.9m．

可见JK最大，故选D．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值．7.（2011山东淄博8，3分）一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（） A.75cm2 B.（25+25QUOTE）cm2C.（25+QUOTE）cm2 D.（25+QUOTE）cm2考点：解直角三角形；旋转的性质。专题：计算题。分析：过G点作GH⊥AC于H，则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，先在Rt△GCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在Rt△AGH中根据含30°的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：过G点作GH⊥AC于H，如图，∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，在Rt△GCH中，GH=CH=QUOTEGC=5cm，在Rt△AGH中，AH=QUOTEGH=QUOTEcm，∴AC=（5QUOTE+QUOTE）cm，∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=•GH•AC=QUOTE×5QUOTE×（5QUOTE+QUOTE）=（25+QUOTE）cm2．故选C．点评：本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质．8.（2011年四川省绵阳市，10，3分）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的

眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何综合题．分析：由已知设塔高为x米，则由已知可得到如下关系，=tan30°，从而求出塔高．解答：解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，

所以设塔高为x米则得：

=tan30°=，

解得：x≈42.48，

故选：D．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得等腰直角三角形，根据直角三角函数列出方程求解．9.（2011湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P．Q两点间的地面距离分别是（） A．QUOTE ， B．QUOTE－R， C．QUOTE－R， D．－R，考点：解直角三角形的应用；切线的性质。分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解答：解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图则在直角△OAQ中有QUOTE＝sinα即AP=QUOTE－R．在直角△OAQ中则∠O为：90°﹣α，由弦长公式得PQ为QUOTE．故选B．点评：本题考查了直角三角形的应用，由题意在直角三角形OAQ中，利用三角函数从而解得．10（2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是（）A．10mB．10mC．15mD．5m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：几何综合题。分析：由河堤横断面迎水坡AB的坡比是，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．解答：解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是，即QUOTE，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10，故选：A．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB．11.（2011贵州毕节，14，3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了()A、8tan20° B、QUOTE C、8sin20° D、8cos20°考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：几何综合题。分析：根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．解答：解：由已知图形可得：木桩上升的高度为：8tan20°．故选A．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．12.（2011•黔南，3，4分）在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p，OP与x轴正方向的夹角为a，则用[p，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为[QUOTE，45°]．若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为（） A、（2，2QUOTE） B、（2，﹣2QUOTE） C、（2QUOTE，2） D、（2，2）考点：解直角三角形；点的坐标。专题：新定义。分析：根据特殊角的三角函数值求出Q点的坐标．解答：解：作QA⊥x轴于点A，则OQ=4，∠QOA=60°，故OA=OQ×cos60°=2，AQ=OQ×sin60°=2QUOTE，∴点Q的坐标为（2，2QUOTE）．故选A．点评：解决本题的关键是理解极坐标和点坐标之间的联系，运用特殊角的三角函数值即可求解．13.（2011浙江宁波，9，3）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（） A、 B、 C、 D、h•sinα考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：几何图形问题。分析：由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．解答：解：由已知得：sinα＝，∴l＝，故选：A．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用－坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形．二、填空题1.（2011浙江衢州，13，4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200m．考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：几何综合题。分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离．解答：解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200．故答案为：200．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理．2.（2011福建莆田，14，4分）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在A点测得D点的仰角α=45º,则乙建筑物高DC_▲米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：计算题．分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADE、△DBC，应借助AE=BC得到方程求解．解答：解：（1）过点A作AE⊥CD于点E．根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30．∴DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58米．故答案为：58．点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．3.（2011福建省三明市，15,4分）如图，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC=18m，则树高AB约为m（结果精确到0.1m）考点：解直角三角形的应用。分析：利用所给角的正切函数求解．解答：解：tanC=QUOTE，∴AB=tanC×BC=tan35°×18≈12.6（米）．故答案为12.6．点评：此题主要考查三角函数定义的应用．一般角的三角函数值需要利用计算器计算．4.（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为.考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐角，并都是特殊角从而很容易解得．解答：解：坝内斜坡的坡度i=1：QUOTE，说明tga=QUOTE，则a=30°外斜坡的坡度i=1：1，说明tgv=1，v=45度，两角和为75°．故答案为：75°．点评：本题考查了解直角三角形及其坡度计算，从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得．5.（2011•株洲11,3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是40米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：计算题。分析：根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题解答，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可解答．解答：解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=80米，则BC=80×QUOTE=40米．故答案为40米．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，将实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．6.(2011襄阳，14，3分)在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路(如图所示)，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°．为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝m．(供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192)考点：解直角三角形的应用。专题：探究型。分析：先判断出△BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．解答：解：∵∠ABD＝140°，∴∠DBE＝180°－140°＝40°，∵∠D＝50°，∴∠E＝180°－∠DBE－∠D＝180°－40°－50°＝90°，∴＝cos∠D，即QUOTE＝0.6428，解得DE＝642.8m．故答案为：642.8．点评：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．7.（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为.考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：从实际情况和坡度值可以得到两个坡度角都为锐角，并都是特殊角从而很容易解得．解答：解：坝内斜坡的坡度i=1：QUOTE，说明tga=QUOTE，则a=30°外斜坡的坡度i=1：1，说明tgv=1，v=45度，两角和为75°．故答案为：75°．点评：本题考查了解直角三角形及其坡度计算，从坡度值以及实际情况可以得到两个坡度角都是锐角而解得．三、解答题1.（2011江苏淮安，23，10分）图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：根据tan60°=QUOTE=QUOTE，即可得出CE的长度，即可得出CD的长．解答：解：∵BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°，∴AB=BD=DE=AE=30，∴tan60°=QUOTE=QUOTE，∴CE=30QUOTE，∴铁塔CD的高度为：30+30QUOTE≈82米，答：铁塔CD的高度为82米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan60°=QUOTE=QUOTE，求出CE的长是解决问题的关键．2.（2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5º方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49º方向，B位于南偏西41º方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离.（参考数据：cos41º≈0.75）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：几何综合题。分析：（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=1200，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离．解答：解：（1）线段BQ与PQ相等．∵∠PQB=90°﹣41°=49°，∠BPQ=90°﹣24.5°=65.5°，∴∠PBQ=180°﹣49°﹣65.5°=65.5°，∴∠BPQ=∠PBQ，∴BQ=PQ；（2）∠AQB=180°﹣49°﹣41°=90°，∠PQA=90°﹣49°=41°，∴AQ=QUOTE=QUOTE=1600，BQ=PQ=1200，∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，∴AB=2000，答：A、B的距离为2000m．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．3.（2011江苏南京，25，7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度．他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：在Rt△ECD中，根据三角函数即可求得EC，然后在Rt△BAE中，根据三角函数即可求得电视塔的高．解答：解：在Rt△ECD中，tan∠DEC=QUOTE，∴EC=QUOTE≈QUOTE=40（m），在Rt△BAE中，tan∠BEA=QUOTE，∴QUOTE=0.75，∴h=120（m），答：电视塔的高度约为120m．点评：本题主要考查了仰角俯角的定义，正确理解三角函数的定义是解决本题的关键．4.（2011江苏苏州，25，5分）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．

（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于________度；

（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；

（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．解答：解：（1）30．（2）由题意得：∠PBH＝25°，∠APB＝45°∵∠ABC＝30°，∠ABP＝90°．在Rt△PHB中，．在Rt△PBA中，．答：A、B两点间的距离约为34.6米．点评：本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．5.（2011•江苏宿迁，23，10）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取QUOTE=1.732，结果精确到1m）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长．解答：解：设CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝∴，3x＝(x＋100)解得x＝50＋50＝136.6∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)答：该建筑物的高度约为138m．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan∠CAE＝得出x的值是解决问题的关键．6.（2011•泰州，23，10分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°．（1）求证：GF⊥OC；（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）考点：解直角三角形的应用；平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）根据∠OCD=25°，矩形ABCD，∠FGB=65°，得出∠FMC=65°，即可得出答案．（2）根据矩形的判定得出EF=NG，再利用解直角三角形的知识得出NG的长．解答：证明：（1）∵∠OCD=25°，矩形ABCD，∠FGB=65°．∴∠FMC=65°，∴∠MFC=90°，∴GF⊥CO；解：（2）做CN⊥EH，于一点N，∵FG∥EH，GF⊥CO；∴四边形ENGF是矩形；∴EF=NG，∵∠FGB=∠NHG=65°，∴sin65°=≈0.91，∴NG=2.366≈2.4．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出四边形ENGF是矩形进而得出EF=NG是解决问题的关键．7.（2011重庆市，16，4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=米.（结果精确到1米）（参考数据：）考点：解直角三角形的应用．分析：根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度．答案：解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，

∴假设CD=x，AC=2x，

∴AD=x，

tinB==，

∴=，

解得：x=150，

∴∴AD=x=×150≈260米．

故答案为：260米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．8.（2011盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：QUOTE≈1.732）考点：解直角三角形的应用.分析：根据sin30°=QUOTE，求出CM的长，根据sin60°=QUOTE，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．解答：解：∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∴sin30°=，∴CM=15cm.∵sin60°=QUOTE，∴QUOTE=QUOTE，解得BF=20QUOTE，∴CE=2+15+20QUOTE≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知求出CM，BF的长是解决问题的关键．9.（2011江苏无锡，24，9分）如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：几何图形问题。分析：根据题目中的俯角可以求出∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，进而得到∠ACB=90°，利用AB=6千米求得BC的长，然后求得CD两点间的水平距离，进而求得C、D之间的距离．解答：解：∵飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°，到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣30°﹣60°=90°，即△ABC为直角三角形，∵AB=6千米，∴BC=AB•cos30°=6×QUOTE=3QUOTE千米．Rt△ABD中，BD=AB•tan30°=6×QUOTE=2QUOTE千米，作CE⊥BD于E点，∵AB⊥BD，∠ABC=30°，∴∠CBE=60°，则BE=BC•cos60°=QUOTE，DE=BD﹣BE=QUOTE，CE=BC•sin60°=QUOTE，∴CD=QUOTEQUOTEQUOTE千米．∴山头C、D之间的距离QUOTE千米．点评：本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可．10.（2011南昌，23，8分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点0到BC（或DE）的距离大于或等于的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F，C﹣D是eq\o(CD,\s\up5(⌒))QUOTE，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm，∠ABC=∠FED=149°．请通过计箅判断这个水桶提手是否合格．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：根据AB=5，AO=17，得出∠ABO=73.6°，再利用∠GBO的度数得出GO=BO×sin∠GBO的长度即可得出答案．解答：解：解法一：连接OB，过点O作OG⊥BC于点G．在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=QUOTE，∴∠ABO=73.6°，∴∠GBO=∠ABC﹣∠ABO=149°﹣73.6°=75.4°．又∵OB=≈17.72，∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠OBG=17.72×0.97≈17.19＞17．∴水桶提手合格．解法二：连接OB，过点O作OG⊥BC于点G．在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=QUOTE，∴∠ABO=73.6°．要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，∵∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=149°﹣73.6°=75.4°＞73.6°，∴水桶提手合格．点评：此题主要考查了解直角三角形，根据AB=5，AO=17，得出∠ABO=73.6°是解决问题的关键11.（2011山西，24，7分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB:BC＝1:），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．（第（第24题）考点：解直角三角形专题：解直角三角形分析：由题意知四边形ABEF为矩形，所以EF＝AB＝2，AF＝BE．在Rt△CDE中，设DE＝x，则．在Rt△ABC中，∵，AB＝2，∴BC＝2．在Rt△AFD中，∵∴，整理得，解得即可．解答：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AE＝BE，EF＝AB＝2，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，．在Rt△ABC中，∵，AB＝2，∴BC＝．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴．因为AF＝BE＝BC＋CE，所以，解得x＝6．答：树DE的高度为6米．点评：利用代数方法来解决几何问题，常常有异想不到的效果．12.（2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD＝3.2m．已知斜坡CD的坡比i＝1：，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：1.7）考点：解直角三角形的应用，坡度问题，转化．专题：解直角三角形的应用分析：要求树的高度，需要计算出若不受斜坡遮挡的话树AB的完整的影子的长，为此考虑作辅助线，延长BD与AC的延长线交于点E，则AE即为不受斜坡遮挡时树AB的完整影长，若AE的长可求，根据同一时刻物体的高度与影长成比例可求解，而AE＝AC＋CE，AC已知，故需求得CE的长，为此可考虑过过点D作DHAE于点H，构造Rt△CDH和Rt△DHE，分别解这两个直角三角形可求得CH与HE的长，则问题获解．解答：解法一、如图所示，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于点H．∵，∴∠DCH＝30°．∴DH＝CD＝1.6m，CH＝DH＝．由题意可知，∴HE＝0.8DH＝1.28m．∴AE＝AC＋CH＋CE＝8.8＋＋1.28＝．∵，所以．解法二、如图，过点D作DHAC于点H，交AC的延长线于点H．∵，∴∠DCH＝30°．∴DH＝CD＝1.6m，CH＝DH＝，AH＝AC＋CH＝8.8＋2.7＝11.5．由题意得，解得AB＝15.975≈16(m)．点评：（1）利用“同一时刻物体的高度与影长成比例”可求得物体的高．（2）对于非直角三角形问题，经常需要通过添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为求直角三角形的边和角的问题．（3）解法二是解决异面投影问题的常用方法：将树顶B的投影末端从点E提到点D．13.（2011四川凉山，23，8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10m，迎水坡面的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度.（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿方向加宽多少米？AABCED考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题；等腰梯形的性质．分析：（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值．（2）过点E作EG⊥AD于G．延长EC至点M，延长AD至点N，连接MN.由S△ABE＝S梯形CMND从而解得DN的值．解答：解：（1）过点作于。在中，∵，且。∴，AABCMDGFEN（2）过点作于。在中，∵，且∴，如图，延长至点，延长至点，连接，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，S△ABE＝S梯形CMND∴·EG，即。。答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m.点评：本题考查了直角三角形的应用.（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中从而解得AF，AB的长度；（2）作辅助线，面积不变，由S△ABE＝S梯形CMND，解方程组得到ND．14.（2011天津，23，分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（取1.73，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：几何图形问题。分析：首先根据∠BAD=30°，得出BD=AD=150，进而利用解直角三角形求出BC的值即可．解答：解：根据题意得：AB=300，如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，在Rt△ADB中，∵∠BAD=30°，∴BD=AD=150，Rt△CDB中，∵sin∠DCB=，∴BC=答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173m．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据sin∠DCB=，得出BC的长是解决问题的关键．15.（2011新疆乌鲁木齐，22，？）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面得高度PC约为多少米？注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈QUOTE，tan53°≈．考点：解直角三角形的应用，仰角俯角问题。专题：计算题。分析：过点A作AD⊥PP′，垂足为D，构造矩形ABCD和直角三角形，根据三角函数的定义求出AD的长，根据AD＝AD，列出方程解答即可．解答：解：过点A作AD⊥PP′，垂足为D，则有CD＝AB＝7米，设PC为x米，则P′C＝x米，PD＝（x－7）米，P′D＝（x＋7）米，在Rt△PDA中，AD＝≈QUOTE（x－7），在Rt△P′DA中，AD＝QUOTE≈QUOTE（x＋7），∴QUOTE（x－7）＝QUOTE（x＋7），解得：x＝25．答：热气球P距湖面的的高度PC约为25米．点评：此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．16.（2011云南保山，20，8分）如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度（）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：计算题。分析：本题可以求出甲船行进的距离AC，根据三角函数就可以求出AB，就可以求出乙船的速度．解答：解：由已知可得：AC=60×0.5=30，又已知甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，∴∠BAC=90°，又乙船正好到达甲船正西方向的B点，∴∠C=30°，∴，所以乙船的速度为：17÷0.5=34，答：乙船的速度为34海里/小时．点评：本题主要考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题及三角函数的定义，理解方向角的定义是解决本题的关键．17.（2011重庆綦江，20，6分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题。专题：应用题。分析：易得CE＝BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离．解答：解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE．∴CE＝21，∴AE＝AB＋BE＝21＋6＝27．在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝AE×tan30°＝27×QUOTE＝9QUOTE，∴CD＝CE－DE＝21－9QUOTE．答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为21－9QUOTEm．点评：本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．18.（2011湖北荆州，21，10分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°=12+3）

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+EF^+FN，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1：3.7和tan15°=12+3=1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，则得出EF^所对的圆心角∠EOF，相继求出弧EF的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．解答：解：已知CD=24，0P=5，∴PD=12，

∴OD2=OP2+PD2=52+122=169，

∴OD=13，则OE=OF=13，

已知坡度i=1：3.7和tan15°=12+3=1：3.7，

∴∠M=∠N=15°，

∴cot15°=2+3，

∴ME=FN=13•cot15°=12×（2+3）=24+123，

∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，

∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，

∴EF^=30360×2π×13=136π，

∴ME+EF^+FN=24+123+136π+24+123≈95.3．

答：从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长为95.3米．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠M和∠N，再由直角三角形求出MF和FN，求出弧EF的长．19.（2011湖北潜江，18，7分）五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为3QUOTE米，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：应用题。分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△APC，应利用其等边BE＝CP构造方程关系式，进而可解即可求出答案．解答：解：作AE⊥CD于点E．由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝3QUOTE米．在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，即tan30°＝．∴CE＝3tan30°QUOTE＝3×＝3QUOTE（米），∴AC＝2CE＝2×3＝6（米）．在Rt△AED中，∠ADE＝90°—∠EAD＝90°—45°＝45°，∴DE＝AE＝3QUOTE（米）．∴DC＝CE＋DE＝（3＋3QUOTE）米．答：AC＝6米，DC＝（3＋3QUOTE）米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并并结合图形利用三角函数解直角三角形．20.如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：3（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，3≈1.732）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由i的值求得大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．解答：解：设大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离a，

∵i=33，

∴坡AB与水平的角度为30°，

∴hAB=sin30°，即得h=AB2=10m，

aAB=cos30°，即得a=32AB=103m，

∴MN=BC+a=（30+103）m，

∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，

∴DNMN=tan30°，

解得：DN=103+10≈27.32（m），

∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．

答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．点评：本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．21.（2011•广东汕头）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732）考点：解直角三角形的应用。分析：根据AD=x，得出BD=x，进而利用解直角三角形的知识解决，注意运算的正确性．解答：解：假设AD=x，∵AD=x，∴BD=x，∵∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，∴tan30°=QUOTE=QUOTE，∴QUOTE=QUOTE，∴AD=25（QUOTE+1）≈68.3m．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出AD的长度，进而表示出tan30°=QUOTE是解决问题的关键．22.（2011•贺州）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD=68°．为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：（1）已知AB=26，∠BAD=68°利用sin68°可求出BE=AB•sin∠BAD=26×sin68°≈24.2米；（2）作FG⊥AD，G为垂足，连FA，则FG=BE利用tan50°求出AG的长17.12m，利用cos68°求出AE长，让AG减AE即可．解答：解：（1）在Rt△ABE中，AB=26，∠BAD=68°∴sin∠BAD=QUOTE∴BE=AB•sin∠BAD=26×sin68°≈24.2米．…（4分）（2）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF∵BE⊥AD，BC∥AD，BF=11，∴FM=BE=24.2，EM=BF=11．在Rt△ABE中，∴cos∠BAE=QUOTE∴AE=AB•cos∠BAE=26×cos68°≈9.62米．∴AM=AE+EM=9.62+11=20.62…（6分）在Rt△AFM中，∴tan∠AFM=QUOTE=QUOTE≈1.17∴∠AFM≈49°30’＜50°这样改造能确保安全．…（8分）点评：本题考查了解直角三角形的应用，主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．23.（2011•柳州）在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小组到操场测量学校旗杆的高度．如图，在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE的大小为30°，量得仪器的高CD为1.5米，测点D到旗杆的水平距离BD为18米，请你根据上述数据计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1米；参考数据QUOTE≈1.73）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：计算题。分析：在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．解答：解：在Rt△ACE中，∠ACE=30°，CE=BD=15，∴tan∠ACE=QUOTE，∴AE=CE•tan∠ACE=15•tan30°=5QUOTE，∴AB=AE+BE=5QUOTE+1.5=8.6+1.5=10.1（米）．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．24.（2011•安顺）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈QUOTE）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=QUOTE，由此可以列出关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：过点C作CD⊥AB于D，由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=QUOTE，则QUOTE，解得x=60（米）．∴这条河的宽度为60米．点评：此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列出方程解决问题．25.（2011黑龙江大庆，21，6分）如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据QUOTEeq\r(2)≈1.41，QUOTEEQ\r(,3)≈1.73）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：本题中CD是直角三角形CDB和直角三角形ADC的共有直角边，那么可用CD来表示出AD和BD，再根据AB的长来求出CD．解答：解：设CD=x，在直角三角形BCD中，∠CBD=45°得BD=CD=x，又∵AB=30×2=60，∴AD=60+x，在直角三角形ACD中，tan30°=QUOTE，即QUOTE=QUOTE，解得：x=30QUOTE+30，得CD≈30×（1.73+1）=81.9（海里），答：此时轮船与灯塔C的距离为81.9海里．点评：此题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，两个直角三角形有公共的直角边时，利用好这条公共的直角边是解决此类问题的关键．26.（2011•郴州）如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：应用题。分析：先求出AB=BC，在Rt△CBD中，CD=sin60°×BC，得出答案．解答：解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=30，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30，sin∠CBD=QUOTE，sin60°=QUOTE，∴QUOTE米．答：风筝此时的高度15QUOTE米．点评：本题主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．27.（2011•青海）某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：甲：我站在此处看树顶仰角为45°．乙：我站在此处看树顶仰角为30°．甲：我们的身高都是1.5m．乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度．（参考数据QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，结果保留两位小数）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：延长AB交DE于C．设CD的长为x米，在Rt△DBC中，求得BC=CD，然后在Rt△ACD中求得AC，利用AC﹣BC=AB，解得DC，则DE=DC+CE．解答：解：如图所示延长AB交DE于C．设CD的长为x米，由图可知，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，∠DCB=90°，则∠BDC=45°，∴BC=CD=x米，在Rt△ACD中，∠A=30°，DC=x，∴QUOTE∵AC﹣BC=AB，AB=20米∴QUOTE答：这棵古松的高是28.82米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的利用直角三角形各边之间的关系得到有关未知量的关系式．28.（2011•德州，20，8分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为4米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物CD的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：几何图形问题。分析：CD与EF的延长线交于点G，设DG=x米．由三角函数的定义得到，在Rt△DGF中，a=，在Rt△DGE中，β=根据EF=EG﹣FG，得到关于x的方程，解出x，再加上1.2即为建筑物CD的高度．解答：解：CD与EF的延长线交于点G，如图，设DG=x米．在Rt△DGF中，a=，即a=QUOTE．在Rt△DGE中，β=QUOTE，即β=QUOTE．∴GF=QUOTE，GE=QUOTE．∴EF=-QUOTE．∴4=解方程得：x=19.2．∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．答：建筑物高为20.4米．点评：本题考查了仰角的概念：向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．也考查了测量建筑物高度的方法以及三角函数的定义．29.（2011•莱芜）莱芜某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．考点：解直角三角形的应用。分析：根据锐角三角函数的定义，可在Rt△ABC中解得BC的值，进而求得BD的大小；在Rt△BDF中，利用余弦的定义，即可求得DF的值．解答：解：在Rt△ABC中，∠A=28°，AC=9，∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77，∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27，∴在Rt△BDF中，∠BDF=∠A=28°，BD=4.27，∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8，答：坡道口的限高DF的长是3.8m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．30.（2011山东青岛，19，6分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：应用题。分析：根据原楼梯的倾斜角为40°，可先求出AD的长，继而在Rt△ACD中求出CD的长．解答：解：在Rt△ABD中，sin40°=，∴AD=5sin40°=5×0.64≈3.2.在Rt△ACD中，tan35°=∴CD=.答：调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米.点评：本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．31.（2011山东省潍坊，19，9分）今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°。已知A点海拔121米．C点海拔721米．(I)求B点的海拔：(2)求斜坡AB的坡度．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，构造直角三角形ABE和直角三角形CBD，然后解直角三角形．

（2）求出BE的长，根据坡度的概念解答．【解答】解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．

在C点测得B点的俯角为30°，

∴∠CBD=30°，又BC=400米，

∴CD=400×sin30°=400×=200（米）．

∴B点的海拔为721-200=521（米）．

（2）∵BE=DF=CF-CD=521-121=400米，

∴AB=1040米，AE===960米，

∴AB的坡度iAB===，故斜坡AB的坡度为1：2.4．【点评】此题将坡度的定义与解直角三角形相结合，考查了同学们应用数学知识解决简单实际问题的能力，是一道中档题．32.（2011山东烟台，21，8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.ABABCDEFMNRαβ考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过点F作FG∥EM交CD于G．则MG=EF=20米，根据∠FGN=∠α=36°即可求出∠GFN的度数，进而可得出FN的长，利用FR=FN×sinβ即可得出答案．解答：解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG=EF=20米．∵∠FGN=∠α=36°．∴∠GFN=∠β﹣∠FGN=72°﹣36°=36°．∴∠FGN=∠GFN，∴FN=GN=50﹣20=30（米）．在Rt△FNR中，FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29（米）．故答案为：29米．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．33.（2011•山西）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为QUOTE（即AB：BC=QUOTE），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：应用题。分析：通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可．解答：解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF=BE，EF=AB=2，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=，在Rt△ABC中，∵，∴BC=2，在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，∴AF=，∵AF=BE=BC+CE，∴解得x=6．答：树高为6米．点评：本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系求解．（2011四川眉山，22，8分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为15cm．求旗杆的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：计算题。分析：过A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答．解答：解：过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，∴EC=AD=15，在Rt△AEC中，tan∠EAC=QUOTE，∴AE=QUOTE（米），在Rt△AEB中，tan∠BAE=，∴BE=AE•tan∠EAB=5QUOTE•tan30°=5（米），∴BC=CE+BE=20（米）．答：旗杆高度为20米．点评：此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．34.（2011年四川省绵阳市，24，12分）已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

（1）求m的值；

（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；

（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出△ABC为等腰直角三角形；

（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，

∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，

解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易得顶点B（1，0），

当x=0时，y=1，得A（0，1）．

由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．

过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=．

同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=．

∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x2-2x-3，

当x=0时，y=-3；

当y=0时，x=-1或x=3，

∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．

第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，

则，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，

则有3（x12-2x1-3）=x1+1，

整理得，3x12-7x1-10=0，解得，

x1=-1（舍）或．

把代入①中可解得，。

∴P1（，）．

第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．

同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，

则有x2=3（3+x22-2x2-3），

整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或．

把代入②中可解得，。

∴P2（，）．

综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）．点评：本题考查二次函数的综合运用，其中涉及求抛物线解析式和抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质．25、（2011年四川省绵阳市，25，14分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求．的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：先设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=，AD=1-x．在直角三角形ABD中求得BD得平方，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x=，则解得；

（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；

（3）由以上两个问题，从的比值求得x的值，则求得的值．解答：解：设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=，AD=1-x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1-x）2=x2-2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴，所以，

∴0＜x＜1，

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得．

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则，得，解得，

∴。

（3）若，则有3x2-10x+6=0，解得∈（0，1），

∴，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好问题．35.（2011成都，16，6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：计算题；几何图形问题。分析：易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．解答：解：由题意得∠A＝60°，∴BC＝AB×tan60°＝500×QUOTE＝500QUOTEm．答：该军舰行驶的路程为500QUOTEm．点评：考查解直角三角形