2022-2023学年宁夏回族自治区银川市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年宁夏回族自治区银川市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数，则的虚部为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C2．如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可．【详解】解：，，又，，，又，，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量运算的三角形法则，难度不大，属于基础题．3．已知非零向量，满足=2，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两向量的垂直关系及向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，即，于是有，设与的夹角为，则，因为，所以.故选：B.4．的三个内角，，所对的边分别为，，，，，，则的外接圆的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理计算可得.【详解】由余弦定理得，所以．故选：C．5．如图所示，在中，在线段上，，，则边的长为（

）A．2 B．C． D．【答案】D【分析】依题意可得为等边三角形，即可求出，由此求得，利用正弦定理求得.【详解】在三角形中，所以为等边三角形，所以，则，在三角形中，由正弦定理得，所以.故选：D6．如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A．1 B．C． D．4【答案】C【分析】利用圆锥展开图得出蚂蚁爬行的最短距离，结合圆心角公式及余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为，所以圆锥底面周长为，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，如图所示在中，，由余弦定理可知，，所以,所以蚂蚁爬行的最短距离为.故选：C.7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形的面积，然后根据棱柱的体积公式计算即可.【详解】解：根据题意，四边形为矩形，因为，所以，所以矩形的面积为，所以直棱柱的体积为.故选：C.8．在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、多选题9．下列有关向量命题，正确的是（

）A．若，则B．已知，且，则C．若，，则D．若，则且【答案】CD【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．【详解】对于A：若，，此时满足，但是，故A错误；对于B：若，且与垂直，此时，但不一定等于，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，则且与同向，故D正确；故选：CD10．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为 D．若是纯虚数，则【答案】BD【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.【详解】解：由题意得：对于选项A：，故A错误；对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.故选：BD11．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法不正确的为（

）A．若，，则B．若，，则，为异面直线C．若，，则或D．若，，则【答案】ABD【分析】利用空中线线、线面平行，面面平行的位置关系即可求解.【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误；对于B，若，，则，的位置关系是平行、相交或异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C正确；对于D，若，，则或与异面，故D错误.故选：ABD.12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是（

）A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B．若，，则C．若，则D．若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍【答案】ABD【详解】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式即可求解.【解答】根据对称性，所以，故A正确；在中，，而，所以，，由正弦定理得，解得，又因为，所以，故B正确不妨设，，由余弦定理，解得，所以，故C错误；若是的中点，，所以,故D正确.故选：ABD．三、填空题13．是虚数单位，则的值为__________.【答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【详解】．【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.14．直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．【答案】【分析】由已知直三棱柱的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．【详解】解：，，，直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，设球半径为，则，，即，直三棱柱的高，直三棱柱的体积，故答案为：．15．在三棱锥中，，，为上一点，，过点作三棱锥的一个截面，，，则截面的周长为__________．【答案】10【分析】根据得到为的中点，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，即可得到平面为截面，根据三角形中位线的性质求出线段，即可得解.【详解】因为，所以，又为上一点，所以为的中点，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，则且，且，所以且，所以为平行四边形，同理可证且，又过点作三棱锥的一个截面，，，所以平面即为截面，又，，所以、，所以截面周长为.故答案为：16．已知△的内角A，，所对的边分别为，，，且，若△的面积为，则△的周长的最小值为____________________.【答案】12【分析】利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合余弦定理得到角C的余弦值，进而得到角C的正弦值，根据三角形的面积得到ab，从而利用基本不等式和函数的单调性求解三角形周长的最小值.【详解】，由正弦定理可得，化简得，由余弦定理可得，则，∵△的面积为，解得，由得，由余弦定理可得，即，当且仅当时等号成立，∴△的周长为，易得函数在上单调递增，则，当且仅当时等号成立，即△的周长的最小值为．故答案为：12.四、解答题17．已知平面向量，，，且与的夹角为．(1)求；(2)若与垂直，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据数量积得定义计算即可；（2）由与垂直，得，再根据数量积的运算律计算即可.【详解】（1），，且与的夹角为，；（2）若与垂直，则，即，，．18．已知内角的对边分别是，若，，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．【详解】（1）在中，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合题意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面积为．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．如图，某组合体是由正方体与正四棱锥组成，已知，且．(1)求该组合体的体积；(2)求该组合体的表面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接、交于点，连接，取的中点，连接、，求出，再根据锥体的体积公式及柱体的体积公式计算可得；（2）求出正四棱锥的斜高，再根据表面积公式计算可得.【详解】（1）在正四棱锥中，连接、交于点，连接，取的中点，连接、，因为，且，则，所以，所以，所以，所以，又正方体的体积，所以.（2）由（1）可知，所以，所以，所以.20．如图，P为平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面于直线.（1）判断与平面的位置关系，并证明你的结论；（2）判断与的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）平面，证明见解析；（2），证明见解析.【分析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得，且，又M为AB中点，可得，且，所以四边形AMNE为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理，可证平面.（2）根据线面平行的判定定理，可证平面，又平面PBC，结合题意，根据线面平行的性质定理，可证.【详解】（1）平面，证明如下：取PD中点E，连接AE，NE，因为N，E分别为PC，PD中点，所以，且，又M为AB中点，，，所以，且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2），证明如下：因为，平面，平面，所以平面，又平面PBC，且平面平面，根据线面平行的性质定理可得.21．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点，之间的距离，她在西江南岸找到一点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，.测量得到数据：，，，，，.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）；（2）【解析】（1）可求得，再利用面积公式即可求出；（2）先在中求出，再在中利用正弦定理求出，则在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1），；（2）由题可得在中，，在中，，由正弦定理可得，即，解得，，则在中，由余弦定理可得，.【点睛】本题考查利用正余弦定理测量距离，解题的关键是分别在和中求出和.22．的内角A，B，C的对边分别为a，b