湖南省宁乡县一中2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

湖南省宁乡县一中2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点、满足，，则（）A. B.C.2 D.3．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是A. B.C. D.4．数列满足，则数列的前n项和为（）A. B.C. D.5．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.166．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值7．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：年度项目2017年2018年2019年2020年独立用户访问总量（单位：个）2512573924400060989网站总访问量（单位：次）23435370348194783219288下列表述中错误的是（）A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势8．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，；若，则的值为（）A. B.C. D.9．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）A. B.C. D.10．已知命题:，命题:则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要11．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）A.9 B.12C.20 D.12．过椭圆+=1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（）A.20 B.18C.10 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）14．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.15．曲线在点处的切线方程是______.16．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知钝角内角A，B，C的对边长分别a，b，c，若，，．求a的值18．（12分）已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：（1）求曲线的轨迹方程；（2）若与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；19．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值20．（12分）已知等差数列满足；正项等比数列满足，，（1）求数列，的通项公式；（2）数列满足，的前n项和为，求的最大值.21．（12分）双曲线（，）的离心率，且过点.（1）求a，b的值；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.22．（10分）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【题目详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.2、D【解题分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.【题目详解】以向量为基底向量，所以所以故选：D3、C【解题分析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质4、D【解题分析】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.【题目详解】依题意得：，，，故选：D5、C【解题分析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【题目详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C6、B【解题分析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【题目详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B7、D【解题分析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.【题目详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.故选：D.8、B【解题分析】根据题意求得，化简得到，结合，求得的值，即可求解.【题目详解】在中，，，，AD为BC边上的高，可得，由又因为，所以，所以.故选：B.9、D【解题分析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.【题目详解】由得，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D.【题目点拨】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.10、B【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【题目详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件故选：B11、C【解题分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.【题目详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时综上：的最大值为20故选：C【题目点拨】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.12、A【解题分析】根据椭圆的定义求得正确选项.【题目详解】依题意，根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.6；②..【解题分析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【题目详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以故答案为：6；14、【解题分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数.【题目详解】解：由圆，可得：，可得其圆心为，半径为；由，可得，可得其圆心为，半径为2；所以可得其圆心距为：，可得：，故两圆相交，其公切线条数为,故答案为：2.【题目点拨】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题.15、x-y-2=0【解题分析】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=016、【解题分析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.【题目详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，设点，根据对称性，不妨设，由抛物线的定义可知，又，所以，当且仅当时，等号成立，此时，设以为焦点的双曲线方程为，则，即，又，，所以离心率.故答案为：.【题目点拨】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）2.【解题分析】(1)利用三角恒等变换公式化简函数，再利用三角函数性质计算作答.(2)由(1)的结论及已知求出角C，再利用余弦定理计算判断作答.【小问1详解】依题意，，则的最小正周期，由，解得，则在上单调递增，所以的最小正周期为，递增区间为.【小问2详解】由(1)知，，即，在中，，，则，即，，于是得，解得，在中，由余弦定理得：，即，解得或，当时，，为直角三角形，与是钝角三角形矛盾，当时，，，此时，是钝角三角形，则，所以a的值是2.18、（1）；（2）【解题分析】（1）设点的坐标为，由，结合两点间的距离公式，列出式子，可求出轨迹方程；（2）易知，且，可求出到直线的距离，结合点到直线的距离为，可求出直线的斜率【题目详解】（1）设点的坐标为，由，可得，整理得，所以所求曲线的轨迹方程为（2）依题意，，且，在△中，，取的中点，连结，则，所以，即点到直线：的距离为，解得，所以所求直线斜率为【题目点拨】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率，考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19、（1）；（2）.【解题分析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【题目详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意20、（1），（2）8【解题分析】（1）利用已知的关系把替换成，再把两式作差后整理即得通项公式，的通项公式可由已知条件建立基本量的方程求解.（2）由的通项公式可判断，，，当时，所有正项的和即为的最大项的值.小问1详解】，，两式相减得所以，又也满足，故；设等比数列的公比为，由得，即，因为，即，，（负值舍去），所以【小问2详解】由题意，，则，，，且当时，所以的最大值是.21、（1），（2）【解题分析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；（2）巧设与已知双曲线同渐近线