湖北省武汉市汉口北高中2024年高二数学第一学期期末调研试题含解析

湖北省武汉市汉口北高中2024年高二数学第一学期期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.2．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3．函数在的图象大致为（）A. B.C D.4．（文科）已知点为曲线上的动点,为圆上的动点,则的最小值是A.3 B.5C. D.5．有一机器人的运动方程为，(是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（）A. B.C. D.6．直线的方向向量为（）A. B.C. D.7．已知抛物线，为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（）A. B.C. D.8．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A. B.C. D.9．数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（）A. B.C. D.10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.11．已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（）A. B.C. D.不能确定12．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）A.或 B.或C.或 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象在点处的切线方程为___________.14．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，，则________．（用，表示）15．已知函数定义域为，值域为，则______16．已知函数，则满足实数的取值范围是__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.（1）求切线的倾斜角的取值范围；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.18．（12分）已知圆：，过圆外一点作圆的两条切线，，，为切点，设为圆上的一个动点.（1）求的取值范围；（2）求直线的方程.19．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,20．（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）求的极小值点和极大值点.21．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若，，，求边长c；（2），，，求角C.22．（10分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【题目详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D2、D【解题分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【题目详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D3、D【解题分析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.4、A【解题分析】数形结合分析可得,当时能够取得的最小值,根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【题目详解】由对勾函数的性质,可知,当且仅当时取等号,结合图象可知当A点运动到时能使点到圆心的距离最小,最小为4,从而的最小值为.故选：A【题目点拨】本题考查两动点间距离的最值问题,考查转化思想与数形结合思想,属于中档题.5、B【解题分析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在时的导数值即可.【题目详解】由题知，，当时，，即速度为7.故选：B6、D【解题分析】根据直线方程，求得斜率k，分析即可得直线的方向向量.【题目详解】直线变形可得，所以直线的斜率，所以向量为直线的一个方向向量，因为，所以向量为直线的方向向量，故选：D7、C【解题分析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.【题目详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，因为，将代入抛物线方程得，可得，不妨设点，则，所以，，解得，因此，抛物线的方程为.故选：C.8、A【解题分析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【题目详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.9、B【解题分析】由已知求得，再根据当时，，，可求得范围.【题目详解】解：因为，则，两式相减得，因为是递增数列，所以当时，，解得，又，，所以，解得，综上得，故选：B.10、C【解题分析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.【题目详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.11、B【解题分析】利用余弦定理结合椭圆的定义可求得、，即可得出结论.【题目详解】在椭圆中，，，，则，，可得，所以，，解得，此时点位于椭圆短轴的顶点.因此，满足条件的点的个数为.故选：B.12、C【解题分析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.【题目详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】求导得到，计算，根据点斜式可得到切线方程.【题目详解】因此，则，故，又点在函数的图象上，故切线方程为：，即.故答案为：14、【解题分析】由已知两式相加求得，得，得到，从而得到，，利用可得答案.【题目详解】因为，由，，得，所以，得，因为，所以，，所以，，所以，.故答案为：.15、3【解题分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.【题目详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，则，由值域为可得，所以，故答案为：3.【题目点拨】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.16、【解题分析】分别对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，即可.【题目详解】对，分别大于1，等于1，小于1的讨论，当,解得当，不存在，当时，，解得，故x的范围为点睛】本道题考查了分段函数问题，分类讨论，即可，难度中等三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据题意求出值，求导后通过导数的值域求出斜率范围，从而得到倾角范围.（2）利用导数几何意义得到过P点的切线方程，化简后构造m的函数，求新函数的极大值极小值即可.【小问1详解】因为，则，解得，所以，则，故，，，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.小问2详解】设曲线与过点，的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为因为点，在切线上，所以，即，由题意，该方程有三解设，则，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，所以实数的取值范围是.18、（1）（2）【解题分析】(1)求出PM，就可以求PQ的范围；(2)使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.【小问1详解】如下图所示，因为圆的方程可化为，所以圆心，半径，且，所以，故取值范围为.【小问2详解】可知切线，中至少一条的斜率存在，设为，则此切线为即，由圆心到此切线的距离等于半径，即，得所以两条切线的方程为和，于是由联立方程组得两切点的坐标为和所以故直线的方程为即19、（1）（2）85亿元【解题分析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可【小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元20、（1）；（2）极大值点，极小值点.【解题分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可【小问1详解】函数，函数的导数为，，在处的切线方程：，即【小问2详解】令，，解得，当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，∴函数单调递增区间，，的极大值点，极小值点21、（1）（2）或【解题分析】（1）根据余弦定理可求得答案；（2）根据正弦定理和三角形的内角和可求得答案.【小问1详解】解：由余弦定理得：，所以.【小问2详解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因为，所以，所以或即或.22、（1）；（2）.【解题分析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；（2）根据函