福建省泉州市南安国光中学2024届高二上数学期末学业水平测试试题含解析

福建省泉州市南安国光中学2024届高二上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.2．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A. B.C. D.3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.4．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.5．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于A. B.1C. D.26．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件7．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数为（）A. B.C. D.8．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.119．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）A. B.C. D.10．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.11．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. B.C. D.12．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设空间向量，且，则___________.14．曲线在点处的切线方程为__________15．定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.16．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若为假命题，求实数m的取值范围18．（12分）如图，四边形是一块边长为4km正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线的一部分（河流宽度忽略不计），某公司准备投资一个大型矩形游乐场.（1）设，矩形游乐园的面积为，求与之间的函数关系；（2）试求游乐园面积的最大值.19．（12分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)20．（12分）如图，在直三棱柱中，，是中点.（1）求点到平面的的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值；21．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积22．（10分）已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.2、B【解题分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；【题目详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B3、A【解题分析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【题目详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【题目点拨】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4、D【解题分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.【题目详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：，由双曲线对称性知，，于是得，即，又双曲线半焦距c=2，所以双曲线的离心率.故选：D【题目点拨】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.5、D【解题分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【题目详解】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故选D【题目点拨】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题6、D【解题分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【题目详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.7、D【解题分析】由复数除法求得后可得其共轭复数【题目详解】由题意，∴故选：D8、B【解题分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对进行赋值即可求解.【题目详解】解：因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以由得：当时，即当时，当时，所以n的最大值是.故选：B.【题目点拨】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.9、A【解题分析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【题目详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A10、D【解题分析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【题目详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D11、A【解题分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【题目详解】如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.12、C【解题分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.【题目详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增,而，由可知，故作出函数大致图象如图：由图象易知，，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】根据，由求解.【题目详解】因为向量，且，所以，即，解得.故答案为：114、【解题分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【题目详解】由题，当时，，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：15、【解题分析】设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.【题目详解】设，则由，则所以在上单调递减.又由，即，即，所以故答案为：16、【解题分析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可.【题目详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则设，由，则，所以两边平方并整理得，所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，所以，，则有，则的最小值为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据题意列不等式组求解（2）判断的真假性后分别求解【小问1详解】由题意得，解得且故m的取值范围是【小问2详解】∵为假命题，∴p和q都是真命题，对于命题q，由题意得：恒成立，∴，∴，∴，解得故m的取值范围是18、（1）（2）【解题分析】（1）首先建立直角坐标系，求出抛物线的方程，利用，求出点的坐标，表示出的面积为即可；（2）利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则，设抛物线的方程为，将点代入方程可得，解得，则抛物线方程为，由已知得，则点的纵坐标为，点的横坐标为，则，【小问2详解】，令，解得，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，因此函数时，有最大值，19、（1）数列具有性质，理由见解析；（2），；（3）有限个.【解题分析】（1）由题意，由性质定义，即可知是否具有性质.（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.【小问1详解】由，对任意正整数，，说明仍为数列中的项，∴数列具有性质.【小问2详解】设的公差为．由条件知：，则，即，∴必有且，则，而此时对任意正整数，，又必一奇一偶，即为非负整数因此，只要为整数且，那么为中的一项.易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.【小问3详解】同（2）知：，则，∴必有且，则，故任意给定，公差均为有限个，∴具有性质的数列是有限个.【题目点拨】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.20、（1）（2）【解题分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用公式计算即可；（2）易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，再利用计算即可小问1详解】解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的的距离的距离为；【小问2详解】（2）因为平面，取平面的法向量为设平面与平面的夹角为，所以平面与平面夹角的余弦值21、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即【小问2详解】由题设知，，，是平面内的两个不共线向量设是平面的一个法向量，则，取，得又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积【题目点拨】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角