湖南省株洲市第十八中学2024年高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南省株洲市第十八中学2024年高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（）A. B.C. D.2．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.3．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.4．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.1015．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（）A. B.C. D.6．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.2 B.6C.4 D.127．已知，若是函数一个零点，则的值为()A.0 B.C.1 D.8．下列命题中，真命题的个数为（）（1）是为双曲线的充要条件；（2）若，则；（3）若，，则；（4）椭圆上的点距点最近的距离为；A.个 B.个C.个 D.个9．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．已知椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A.4 B.C.4或 D.4或11．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A. B.C.2 D.312．数列满足，，，则数列的前10项和为（）A.60 B.61C.62 D.63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.14．已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____15．教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100名学生进行百分制检测，现将所得的成绩按照，分成6组，并根据所得数据作出了频率分布直方图(如图所示)，则成绩在这组的学生人数是________.16．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．X1491625Y2a3693142三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点（不同于A，B两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点到点设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)18．（12分）给定函数.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；（3）求出方程的解的个数.19．（12分）已知二次函数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若，解关于x的不等式.20．（12分）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2（1）求实数p的值；（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程21．（12分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？22．（10分）已知数列通项公式为：，其中．记为数列的前项和（1）求，；（2）数列的通项公式为，求的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【题目详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B2、B【解题分析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【题目详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.3、B【解题分析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.【题目详解】解：根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.4、C【解题分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【题目详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C5、A【解题分析】由可求得，利用可构造方程求得.【题目详解】，，，，，解得：.故选：A.6、C【解题分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【题目详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C7、A【解题分析】首先根据题意求出，然后设函数，利用以及的单调性，并结合对数运算即可求解.【题目详解】由题意可知，，所以，不妨设，()，故，从而，易知在上单调递增，故，即，从而.故选：A.8、A【解题分析】利用方程表示双曲线求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.【题目详解】对于（1），若曲线为双曲线，则，即，解得或，因为或，因此，是为双曲线的充分不必要条件，（1）错；对于（2），若，则或，（2）错；对于（3），，则，（3）对；对于（4），设点为椭圆上一点，则且，则点到点的距离为，（4）错.故选：A.9、B【解题分析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.【题目详解】由椭圆可得焦点为，则设双曲线方程为，可得，则离心率，解得，则，所以渐近线方程为.故选：B.10、C【解题分析】根据焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得的值.【题目详解】当焦点在轴上时，，且.当焦点在轴上时，且.故选：C11、A【解题分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【题目详解】，，由中点坐标公式，得，所以.故选：A12、B【解题分析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.【题目详解】当且为奇数时，，则，当且为偶数时，，则，∴.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】当时，利用及求得函数的解析式.【题目详解】当时，，由于函数是奇函数，故.【题目点拨】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.14、2036【解题分析】先用换底公式化简之后，将表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.【题目详解】当时，，所以，若满足正整数，则，即，所以在内的所有“幸福数”的和为：,故答案为：2036.15、20【解题分析】根据频率分布直方图求出成绩在这组的频率，从而可得出答案.【题目详解】解：由频率分布直方图可知，成绩在这组的频率为，所以成绩在这组的学生人数为（人）.故答案为：20.16、17【解题分析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【题目详解】因为，，所以，解得故答案为：17三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧长公式求出弧的长度，则可得函数；（2）利用导数可求得结果.【题目详解】（1）如图，连接在直角三角形中，所以由于则弧的长为（2）由（1）可知，令得，因为所以，当单调递增，当单调递减，所以当时，使得绿化带总长度最大.【题目点拨】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.18、（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解题分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.【小问1详解】，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.【小问2详解】作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.【小问3详解】结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.19、（1）（2）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为【解题分析】（1）带入，将化解为，再利用基本不等式求最值即可；（2）将不等式移项整理为，再对a分类讨论，比较两根的大小，即可求得解集.【小问1详解】当a=3时，函数可整理为，因为，所以利用基本不等式，当且仅当，即时，y取到最小值.所以，当时，函数的最小值为.【小问2详解】将不等式整理为，令，即，解得两根为与1，因为，当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20、（1）2（2）或【解题分析】（1）根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果（2）通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果【小问1详解】抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得【小问2详解】抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得所以直线l的方程为或21、（1）（2）（3）【解题分析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率；(2)利用对立事件的概念即可求得结果；(3)结合(1)即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.【小问1详解】设这三个学生分别为A、B、C，A的作业为a，B的作业为b，C的作