拉普拉斯变换

工程数学中常用的一种积分变换拉普拉斯变换01定义存在条件实例定义式公式概念基本性质目录030502040607发展历史应用定理联系目录0908基本信息拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。定义定义一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作定义式定义式式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。为收敛因子。为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。存在条件存在条件表达式中，右边的积分为有限值。公式概念公式概念拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示，而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。

拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换

是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是已知F(s)求解f(t)的过程。用符号表示。拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0，f(t)=mathcal^left=fracint_^F(s)'e'ds，c'是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)'的个别点的实部值。实例实例据此，在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^inftye'dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。则f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：。意义与作用为简化计算而建立在实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。基本性质微分性质位移性质基本性质位移性质设F(s)=L[f(t)]，则有它们分别表示时域中的位移定理和复域中的位移定理。

微分性质。

发展历史发展历史法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。

联系联系对于任何函数，假定时，当足够大时，函数的傅立叶变换就有可能存在，即再根据傅立叶逆变换可得记，，并注意到，于是我们便可得到当，其实就是的傅立叶变换，因此有时候我们称傅立叶是特殊的拉普拉斯变换

。引入的原因是：不一定满足傅立叶变换的狄里赫利条件，而在足够大时可以满足傅立叶变换的条件。的拉普拉斯变换本质是的傅立叶变换，对于而言，这种变换改变傅立叶正变换中的原函数（原函数乘以指数衰减函数项），也改变了傅立叶逆变换的积分因子（），这种变换就是的拉普拉斯变换。应当注意此时的，它的讨论范围就不再单单是频率而是一个复数(包含频率)的。应用定理应用定理有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统