2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第18讲轨迹方程的探求含解析

Page7第18讲轨迹方程的探求——直接法、定义代入法一、知识与方法1曲线与方程在平面直角坐标系中,曲线上的点的坐标与二元方程的实数解建立了如下关系:（1)曲线上的点的坐标都是方程的解;（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.此时称曲线为方程的曲线,方程称为曲线的方程.2常见求轨迹方程的方法归纳(1)直接法.若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系,而这些条件易于表述成关于的等量关系式,可以较为容易地得到轨迹方程(即遵循求轨迹方程的一般顺序),这种方法一般称之为直接法.用直接法求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式.化简,验证这5个环节.(2)定义法.若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等),可从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程,或从曲线定义来建立等量关系式从而求出其轨迹方程.(3)代入法(动点转移法).所求动点与已知动点有着相互关系(规律地运动),而且已知动点运动的轨迹方程已经给定或极为容易求出,可用所求动点的坐标表示出已知动点的坐标,然后代人已知的曲线方程整理而得所求动点的轨迹方程,这种方法也叫相关点法.二、典型例题【例1】(1)已知所对边分别为.且成等差数列,已知,求顶点的轨迹方程;(2)设为两定点,动点到点的距离与到点的距离的比为定值,求点的轨迹.【分析】(1)问,成等差数列且.等量关系很明朗.法用直接法,要注意控制轨迹的范围.不致造成与题设矛盾的情况.第(2)问,由于含有字母参数,求的又是轨迹,即得到方程后还要讲清图形是什么,在运用直接法得到方程后对字母参数需要进行分类讨论.【解析】(1)以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则,设.依题意.即,化简并整理得,由于,∴,即,得,而点不在轴上,故.∴所求的轨迹方程为.(2)设动点的坐标为,则由得.化简得.(1)当时,化简得;(2)当时,化简得,整理得∴当时,点的轨迹是以为圆心,为半径的圆;当时,点的轨迹是轴.【例2】(1)一动圆过定点,且与定圆相切,求动圆圆心的轨迹方程;又若定点为,定圆为呢?（2）已知双曲线过点,它的一个焦点是,求它的另一个焦点的轨迹.【分析】第（1）问，利用两圆相切，连心距与圆半径的关系找出动点与定点的联系,然后由圆锥曲线定义确定曲线的类型、位置及参数,直接写出轨迹方程,这种求轨迹的方法绒“定义法”.若改变题设条件,情景也会改变.两圆相切,要考虑外切、内切两种情况,若指定外切或内切,有时所得轨䄳方程会受到限制(部分曲线).第(2)问,也可尝试利用圆锥曲线的定义求解,注意双曲线定义中的绝对值符号,故需要分类讨论.【解析】(1)设动圆圆心,定圆的圆心,∵点在定圆内部,∴动圆与定圆只能是内切,因此.∴由定圆的定义知动圆圆心的轨迹方程是.设动圆圆心,定圆的圆心在定圆内部.∴动圆与定圆有外切、内切两种情况,因此||.∴由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程是.(2)设双曲线的另一个焦点是,实轴长为.∵点都在双曲线上,由双曲线定义,得|,.∴,而∴.若,则.∴点的轨迹是线段的垂直平分线:.若,则.∴点的轨迹是以为焦点,且长轴长为10的椭圆.其中心坐标为,方程为.【例3】(1)如图所示,从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程;(2)如图所示,已知椭圆分别是它的左、右顶点,是坐标原点,是椭圆上不同于的一点,延长到,使.直线与交于点,当点在椭圆上移动时,求点的轨迹方程.【分析】第(1)问,利用中点坐标公式使得点的坐标用点坐标表示,由于点在已知双曲线上,代入化简即可得点的轨为方程.第(2)问,找到与两点坐标之间的关系是解决本小题的难点,由于点是直线与直线的交点,可以运用解方程组达到这一目标,从而点坐标可以用点的坐标标表示,而点在椭圆上运动,代入化简即得点的轨迹方程.【解析】（1）设.则.∵在直线上,∴.①又,即.②联立①②,得又点在双曲线上，∴,化简整理得,此即为动点的轨迹方程.(2)设点的坐标分别为.由,得.直线的方程为:;直线的方程为:.将直线和的方程整理,得解关于的方程组,得代入,整理,得所求的点的轨迹方程为.三、易错警示【例】已知动点到轴的距离的3倍等于它到点的距离的平方,求动点的轨迹方程.【错解】设动点的坐标为,由已知,得,化简,得当时,方程为;①当时,方程为.②【评析及正解】上述解法显然正确地运用了点到轴的距离以及两点间的距离公式,也能对绝对值问题分类化简,但是缺少对所得结果作进一步的整理和检验,解题过程并不严谨.正确的解法如下：【解析】设动点的坐标为,由已知,得.当时,方程为,即；当时,方程为,即,由于两个平方数之和不可能为负数,故此种情况应舍去.因此,所求动点的轨迹方程为:.四、难题攻略【例】由已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹,是过点的直线,点是在上(不在上)的动点,在上,轴(如图所示).(1)求曲线的方程;(2)求直线的方程,使为常数.【分析】第(1)问,求曲线的轨迹方程,由于题中等量关系很明朗,可运用直接法.第(2)问,所求直线方程使得为常数,则关键是求出的关系式,由于过点,显然应引入的斜率为参数,则用来表示,探究为何值时为常数,在解题过程中构造几何图形非常重要,出色的构造可以减少运算量,易于获得结果.【解析】(1)设为上的任意一点,则,点到直线的距离为,由题设得,化简，得曲线的方程为.(2)解法一设,直线,则,从而.联结,如图所示,在中,当时,为常数，.从而所求直线的方程为.解法二设,直线,则,从而.如图所示,过作垂直于的直线.∵∴,当时,为常数,.从而所求直线的方程为.五、强化训练1.已知两点,且点使成公差小于零的等差数列.(1)点的轨迹是什么曲线?(2)若点的坐标为为与的夹角,求.【解析】(1)记，由，得．由成公差小于零的等差数列，得即点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆．(2)的坐标为，则．2.已知双曲线的左、右焦点分别为,左,右顶点分别为.(1)过点的动直线与双曲线相交于两点,若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(2)设点是双曲线上不同的两个动点,求直线与交点的的轨迹方程.【解析】（1）解法一：设由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又两点在双曲线上，两式相减得．即．①将代人①式，化简得．当与轴垂直时，，求得也满足上述方程，点的轨迹方程为．解法二：同解法一有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代人，有则是上述方程的两个实根，．则③由①②③得，④⑤当时，，由④⑤得．将其代人⑤式有，整理得．当时，点的坐标为，满足上述方程，当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点的轨迹方程是．(2)由分别为双曲线的左、右顶点知．直线的方程为．直线的方程为．解法一．联立的方程