2022年云南省昆明市宜良县蓬莱乡第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年云南省昆明市宜良县蓬莱乡第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．参考答案：A【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．【点评】本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，比较基础．2.如图，南北方向的公路,A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（

）万元

A.(2+)a

B.2(+1)a

C.5a

D.6a

参考答案：【答案解析】C

解析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、为准线的抛物线，

根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线距离即可．因B地在A地东偏北300方向2km处，∴B到点A的水平距离为3（km），∴B到直线距离为：3+2=5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．故选C．【思路点拨】依题意知曲线PQ是以A为焦点、为准线的抛物线，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．3.函数和图象是（

）．

A．B．C．D．参考答案：C4.如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27π B．48π C．64π D．81π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．5.定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,,则A.

B.

C.

D.

参考答案：A略6.设集合，则中元素的个数为（

）A．3

B．2

C．7

D．5参考答案：A略7.若曲线y=x4的一条切线L与直线垂直，则L的方程是（

）A.4x-y-3=0

B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0

D.x+4y+3=0参考答案：答案：A8.已知是方程的两个根，则下列结论恒成立的是（）

A．

B．C．

D．参考答案：B9.已知i是虚数单位，则＝(A)

(B)

(C)3－i

(D)3＋i参考答案：B10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=4，则△ABC的面积的最大值为A. B. C.2 D.参考答案：A∵在△ABC中，∴（2a-c）cosB=bcosC，

∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，

约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac，

∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B，且，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为

．参考答案：，，，点到直线距离最大时，圆的面积最大，令，解得，即到直线距离最大，此时，所以所求圆的标准方程为．16．12.某程序框图如图所示，若输出的，则输入的

．参考答案：513.设,则的大小关系是

;参考答案：14.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝18，S3＝26，则{an}的公比q＝

．参考答案：315.已知（a＞0，b＞0），且A，B，C三点在同一条直线上，则的最小值为

．参考答案：4【分析】直接利用向量共线的充要条件求出a+b=1，进一步利用基本不等式求出结果．【解答】解：由，可得a+b=1，则，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：向量共线的充要条件的应用，基本不等式的应用．16.将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为

．参考答案：5π考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积．解答： 解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，∵长方体的对角线的长为：=，∴球的直径是，半径为，∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π×=5π．故答案为：5π点评：本题主要考查三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积，解题关键将三棱锥B﹣ACD的外接球扩展为长方体的外接球，属于中档题．17.已知幂函数的图象过（4，2）点，则=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），（1）若∥且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值．参考答案：【考点】正弦定理；平行向量与共线向量．【分析】（1）由可得，结合角A为锐角，即可解得A的值．（2）在△ABC中，已知A，B的三角函数值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值．【解答】解：（1）∵，=（cosA+2sinA，﹣3sinA），=（sinA，cosA﹣2sinA），∴（cosA+2sinA）（cosA﹣2sinA）=﹣3sin2A，∴解得：．又∵角A为锐角，∴．（2）在△ABC中，，则．∴，∴，∴由正弦定理得，解得a=5．19.已知函数,的最大值为2．（Ⅰ）求函数在上的值域；(Ⅱ)已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．参考答案：解：（1）由题意，的最大值为，所以．………2分

而，于是，．…………………4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为；…………………6分

（2）化简得

．由正弦定理，得，……………9分因为△ABC的外接圆半径为．．所以…………………12分

略20.已知函数，分别由下表给出12—112110—120—2

（1）求的值。（2）当时，求的值。（3）请判断函数，的奇偶性并证明。w参考答案：解析：1）=

----------┈3分2）∵

∴=2

∴

┈6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3）为奇函数，为非奇非偶函数

------------8分∵的定义域为，关于原点中心对称且

∴为奇函数

----------11分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∵的定义域为，不关于原点中心对称∴为非奇非偶函数

------------14分

21.（13分）设为常数）。（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集，对任何属于的、，都有成立？若存在试找出所有这样的；若不存在，请说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ）举出反例即可．，，，所以，不是奇函数；……………4分（Ⅱ）是奇函数时，，即对定义域内任意实数成立．化简整理得，这是关于的恒等式，所以所以或

．

经检验都符合题意．……………8分(Ⅲ)（1）当时，，因为，所以，，从而；而对任何实数成立；所以可取=，对任何、c属于，都有成立．……10分(2)当时，，所以当时，；当时，；1）因此取，对任何、c属于，都有成立．2）当时，，解不等式得：．所以取，对任何属于的、c，都有成立．………13分22.已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得,…2分所以当直线与轴垂直时，解得,

……3分抛物线的方程为.

……4分（2）不妨设直线的方程为，因为抛物线的准线方程为，所以.……5分联立消去，得,