江西省吉安市澧田中学高三数学文测试题含解析

江西省吉安市澧田中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..已知条件p:k=，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的(

).

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知定义在上的奇函数f(x)，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间[-8,8]上有四个不同的根,则=（

）（A）0

（B）8

（C）-8

（D）16参考答案：C3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）A．B．C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：由图得，PA⊥平面ABC，，，，，则，在△PBC中，，由余弦定理得：，则，所以，所以三棱锥中，面积最大的面是△PAC，其面积为，故选B．4.若a，b表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则参考答案：C【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．【点睛】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．5.若实数列的前n项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；

（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；

（3）若是等比数列，则的充要条件是

其中，正确命题的个数是

（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：6.抛物线的准线经过等轴双曲线的左焦点，则（

）

A./2

B.

C.2

D.4参考答案：C略7.已知向量为单位向量，且它们的夹角为，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：A8.在（1+x3）（1﹣x）8的展开式中，x5的系数是（）A．﹣28 B．﹣84 C．28 D．84参考答案：A【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x3）展开可知含有x3与（1﹣x）8展开的x2可得x5的系数；由（1+x3）展开可知常数项与（1﹣x）8展开的x5，同样可得x5的系数；∴含x5的项：+=28x5﹣56x5=﹣28x5；∴x5的系数为﹣28，故选A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有x5的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题9.如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C.

由图象可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x3－x2－2x，又∵x1、x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝－，故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2＋2×＝.

10.设全集，则=

A.

B.

C.

D.参考答案：D，所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲乙两人乘车，共有5站，假设甲乙两人在每个站下车的可能性是相同的．则他们在同一站下车的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=5×5=25，他们在同一站下车包含的基本事件个数m=5，由此能求出他们在同一站下车的概率．【解答】解：甲乙两人乘车，共有5站，假设甲乙两人在每个站下车的可能性是相同的，基本事件总数n=5×5=25，他们在同一站下车包含的基本事件个数m=5，∴他们在同一站下车的概率为p=．故答案为：．12.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的

.（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形

（2）梯形

（3）直角三角形

（4）矩形参考答案：（1）（2）（4）13.记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为

．参考答案：31【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q的值，则S5的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a1=1，则S4=4，5S2=10，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a1=1，S4=5S2，得=5a1（1+q），解得q=±2．∵数列{an}的各项均为正数，∴q=2．则S5==31．故答案为：31．14.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7…

23=3+5

33=7+9+11…

24=7+9…此规律，54的分解式中的第三个数为

▲

参考答案：125由题意可知，，，所以54的分解式中的第三个数为。15.已知i为虚数单位，那么（1+2i）2等于

．参考答案：﹣3+4i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的乘法运算化简（1+2i）2即可．【解答】解：（1+2i）2=1+4i+4i2=﹣3+4i，故答案为：﹣3+4i．16.已知，，则__________．参考答案：因为，，所以，因此

17.已知正三棱锥A-BCD每个顶点都在球O的球面上，球心O在正三棱锥的内部．球的半径为R，且．若过A作球O的截面，所得圆周长的最大值是8π，则该三棱锥的侧面积为_______．参考答案：【分析】依题意，该球的大圆的周长为8π，可得R＝4，BC=6．设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE．可得三棱锥的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF．求侧面积即可．【详解】依题意，该球的大圆的周长为8π，所以2πR＝8π，得R＝4，如图，正三棱锥A﹣BCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD，设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高．根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上．所以BC6．则BE2．EF，又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2．所以三棱锥的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．所以三棱锥的斜高AF．该三棱锥的侧面积为S侧＝339．故填：．【点睛】本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知实数满足，，设函数．（1）当时，求的极小值；（2）若函数（）的极小值点与的极小值点相同．求证：的极大值小于等于．参考答案：（Ⅰ）解:当a＝2时，f′（x）＝x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）． `列表如下：x（－，1）1（1，2）2（2，＋）f′（x）＋0－0＋f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f（x）极小值为f（2）＝．

（Ⅱ）解：f′（x）＝x2－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）．g′（x）＝3x2＋2bx－（2b＋4）＋＝．令p（x）＝3x2＋（2b＋3）x－1，（1）当

1＜a≤2时，f（x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，所以p A．＝0，即3a2＋（2b＋3）a－1＝0，即b＝，此时g（x）极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b＝－3＋＝．由于1＜a≤2，故≤2－－＝．（2）当0＜a＜1时，f（x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．此时g（x）的极大值点x＝x1，有g（x1）＝x13＋bx12－（2b＋4）x1＋lnx1＜1＋bx12－（2b＋4）x1＝（x12－2x1）b－4x1＋1

（x12－2x1＜0）＜－（x12－2x1）－4x1＋1＝－x12＋x1＋1＝－（x1－）2＋1＋

（0＜x1＜1）≤＜．综上所述，g（x）的极大值小于等于．

略19.【文科】和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.参考答案：1）由得

化简得，，或………2分解得或，，即集合………2分(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)（2）证明：由题意得，（且）………2分

变形得，，由于且

………2分因为，所以，即………2分（3）当，则，由于函数在上是偶函数则所以当时，……………2分由于与函数在集合上“互为函数”所以当，恒成立,对于任意的()恒成立,即……………2分所以,即所以,当（）时,……………2分所以当时，………2分略20.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，，.（1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）.参考答案：（1）在中，显然，，，………………2分矩形的面积，…4分于是为所求.…6分（2）矩形健身场地造价

………7分又的面积为，即草坪造价，……………8分由总造价，，.…10分，……………………11分当且仅当即时等号成立，……………12分此时，解得或，所以选取的长为12米或18米时总造价最低.………14分

21.（本小题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，

（1）求证：平面

（2）若，求点到平面参考答案：【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算.G5G11

【答案解析】（1）见解析；（2）解析：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中D1D⊥底面ABCD，DD1⊥A1D1AD=1，CD=2，∠DCB=60°利用余弦定理得：BD=△BDC为直角三角形BD⊥BCAD⊥BD∴A1D1⊥B1D1所以A1D1⊥平面BDD1B1

A1D1平面A1BCD1所以：平面A1BCD1⊥平面BDD1B1（2）连由（1）知平面平面平面平面由已知，【思路点拨】（1）首先利用勾股定理和余弦定理求出相关的线线垂直，进一步利用线面的垂直的判定和性质转换为面面垂直的判定，从而证明结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用等面积法求的结果．22.（本小题满分12分）已知函数，点、分别是函数图