初中数学沪科版九年级上册第23章解直角三角形2解直角三角形及其应用【区一等奖】

中物理沪科版数学九年级上册第23章解直角三角形专题23.2.1解直角三角形知识回顾ACB∠A的对边a∠A的邻边b斜边c锐角A的正弦、余弦、正切sinA=∠A的对边斜边ac=cosA=∠A的邻边斜边bc=tanA=∠A的对边∠A的邻边ab=cosA、tanA也是锐角A的函数.对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角A的函数.同理，都叫做锐角A的三角函数.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，tanA=，求AB的长.课前热身34ACB解：∵tanA=

BCAC9=，

34且BC=99AC=34∴

∴AC=12∴

AB==13规律总结：根据正切的定义，可以列出锐角正切与对边、邻边的关系式，将已知数据可求得未知数据.代入，

若已知正切与对边可求得邻边；已知正切与邻边也可求得对边.之间有怎样的关系呢?如图，Rt△ABC共有个元素六()，∠C=90°，那么其余五个元素()其中(1)三边之间的关系(2)锐角之间的关系(3)边角之间的关系a2+b2=c2∠A+∠B=90°sinA=，accosA=，bctanA=abcabBCA三条边，三个角两锐角A，B三边a，b，c，对于锐角B，也由类似的边角关系吗？sinB=，bccosB=，actanB=ba概念学习在直角三角形中，除直角外，由已知元素叫做解直角三角形.的过程，求出未知元素一个元素是边)，有了以上关系，如果知道了五个元素中的两个元素(至少有就可以求出其余的三个元素.拓展延伸：(1)解直角三角形至少需要个元素这样就可以求出其余三个元素.2(除直角外)，且这两个元素中至少有一个元素是边，(2)解直角三角形不是只求单独的一个未知边(3)解直角三角形所用的关系式①

三边之间的关系②

锐角之间的关系a2+b2=c2∠A+∠B=90°就是利用已知元素把剩余的未知元素求出来的过程，或一个未知角.③

边角之间的关系sinA=，accosA=，bctanA=ab(4)解直角三角形的关键未知和已知元素.就是灵活地选择上面的关系式，快捷地沟通

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=3，解这个直角三角形.解：由勾股定理，得∵tanA=已知两直角边解直角三角形的方法：cBCAab=∠A=30°

∴c=ab∠B=∴90°-30°=60°通常先利用勾股定理求出斜边的长，再利用两直角边的比得到正切值求出一个锐角，最后利用两锐角互余关系求出另一个锐角.a=b=3变式1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形.cBCA(精确到0.1，参考数据：sin42°6'≈0.6704，cos42°6'≈0.7420)解：∵∠C=90°，∠B=42°6'∴∠A=90°-42°6'=47°54'ab由cosB=，得aca=ccosB≈287.4×0.6704≈192.7由sinB=，得bcb=csinB≈287.4×0.7420≈213.3已知一个锐角和斜边解直角三角形的方法：通常先利用两锐角互余的关系求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦，求出两直角边，也可以结合勾股定理求解.42°6'c=287.4

变式2在Rt△ABC中，∠C=90°，a=10，c=20，解这个直角三角形.解：由勾股定理，得∵sinA=已知斜边和一条直角边解直角三角形的方法：求出这个锐角，cBCAab=∠A=30°

∴b=ac∠B=∴90°-30°=60°通常先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再由已知直角边所对角的正弦值最后利用两锐角互余关系求出另一个锐角.1020=12a=10c=20

变式3在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=4，解这个直角三角形.解：∵∠C=90°，∠A=30°∴∠B=90°-30°=60°由tanA=，得abb=已知一个锐角和一条直角边解直角三角形的方法：最后利用勾股定理求出斜边的长.cBCAabatanA=4=由勾股定理，得c==8a=430°通常先利用两锐角互余的关系求出另一个锐角，

再利用已知角的正切求出另一条直角边的长，c=30b=20

例2如图，在△ABC中，∠A=55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S△ABC.(精确到0.1cm2，sin55°≈0.8192)cBCAb55°a解：过点C作CD⊥AB，垂足为DD∵

在Rt△ACD中，sinA=CDAC∴CD=AC·sinA=20sin55°∴S△ABC=AB·CD12=×30×20sin55°12≈×30×20×0.819212≈245.8(cm2)

变式练习

在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°，求四边形的面积.(精确到0.01，参考数据：sin43°≈0.6820)ABCD486E43°1、在△ABC中，AB=4，AC=，∠B=60°，求BC的长度.巩固练习2、在△ABC中，∠A=30°，AC=，BC=3，那么∠B为()A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°3、在△ABC中，∠A=45°，∠C=90°，点D在线段AC上，∠BDC=60°，AD=1，则BD=

.巩固练习BADCA45°60°130°x2xx+14、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=，求线段AD的长.巩固练习30°30°

5、如图，在△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高，BD=1，BC=2，解直角三角形ACD.巩固练习DBAC12D.abcosα6、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则ABCD的面积是()A.absinα12B.absinα12C.abcosα巩固练习EA7、【2016·包头】如图，已知四边形ABCD，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sinA=，求AD的长.巩固练习456460°30°本节课你有什么收获？在直角三角形中，除直角外，由已知元素叫做解直角三角形.的过程，求出未知元素拓展延伸：(1)解直角三角形至少需要个元素这样就可以求出其余三个元素.2(除直角外)，且这两个元素中至少有一个元素是边，(2)解直角三角形不是只求单独的一个未知边(3)解直角三角形所用的关系式①