第七章 季节时间序列分析

第七章季节时间序列分析第一页，共三十四页，编辑于2023年，星期四例某地1987年至1996年某商品月销售量序列如图所示：该序列的季节特征是明显的，季节周期为12.第二页，共三十四页，编辑于2023年，星期四一、季节时间序列二、季节时间序列的主要特征

第

一节

季节时间序列第三页，共三十四页，编辑于2023年，星期四第四页，共三十四页，编辑于2023年，星期四第五页，共三十四页，编辑于2023年，星期四1、一个时间序列，若经过s个时间间隔后呈现出相似的特征，称该序列为季节时间序列，周期为s.一季节时间序列2、季节时间序列按周期的重新排列列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同周期点的值列在同一列上.第六页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

周期点周期1234….s1X1X2X3X4…Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4…X2s….…nX(n-1)s+1X(n-1)s+2X(n-1)s+3X(n-1)s+4….Xns第七页，共三十四页，编辑于2023年，星期四第八页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

二季节时间序列的特征

重要特征表现为周期性：在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性——该序列具有以S为周期的周期特性。第九页，共三十四页，编辑于2023年，星期四一、随机季节模型二、乘积季节模型第二节季节时间序列模型第十页，共三十四页，编辑于2023年，星期四一随机季节模型1、随机季节模型：对季节时间序列中，不同周期的同一周期点之间的相关性的拟合。2、（1）设周期为s.Xt、Xt-s、Xt-2s….等可能适合三类模型中的任何一种.前提条件是它们是平稳序列.若不平稳,进行季节差分.第十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期四（2）D阶季节差分

sXt=Xt-Xt-s=（1-Bs)Xt

sDXt=（1-Bs)dXt

s2Xt=(1-Bs)2Xt=(1-2Bs+B2s)Xt

Xt=Xt-Xt-1sXt=Xt-Xt-saD:a:相减的时期D:差分的阶数第十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期四设sDXt=Wt

，则sDXt-s=Wt-s

若Wt适合AR(1)以D=1为例，若Wt适合MA(1)

若Wt适合ARMA(1,1)

第十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期四更一般的情形，季节性的SARIMA为其中分别称为：k阶季节自回归多项式m阶季节移动平均多项式

第十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期四3、（1）模型将序列不同周期上的相同周期点之间的关系表示出来，但是没有反映同一周期内不同周期点之间的关系.（2）序列可能还存在长期趋势，相同周期的不同周期点之间可能也有一定的相关性，所以，模型可能有一定的拟合不足。第十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期四二乘积季节模型(SARIMA)使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系

.构造原理短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARIMA(P,D,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系.第十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

1、

可能是平稳的，也可能是非平稳的，不妨设一般情况，

适合ARIMA（p，d，q）（一）乘积季节模型的一般形式第十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期四2、假定季节相关与普通相关交互作用，建立乘法模型——第十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期四若

适合，而

又适合在前式两边同乘得：第十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期四其中：（1）式称为乘积季节模型，记为第二十页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

（二）常见的乘积季节模型（s=12）1、(1-B)(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B12)at它是由两个模型组成的。（1）(1-B12)Xt=(1-12B12)et（2）et-et-1=(1-B)et=at-1at-1=(1-1B)at在（1）两端同乘（1-B）得：第二十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期四(1-B)(1-B12)Xt=(1-12B12)(1-B)et

=(1-12B12)(1-1B)at(Xt-Xt-12)–(Xt-1-Xt-13)=(at-12at-12)-1(at-1-12at-13)2、(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12B12)et

Xt、Xt-12、Xt-24….是非平稳的，有趋势，差分后平稳，适合MA(1)模型.(2)et是平稳序列，适合MA(1)，第二十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期四et=at-1at-1=(1-1B)at代入（1）得：(1-B12)Xt=(1-12B12)et=(1-12B12)(1-1B)at=(at-12at-12)-1(at-1-12at-12)

第二十三页，共三十四页，编辑于2023年，星期四3、(1-1B)(1-B12)Xt=(1-12B12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12B12)et(2)et是平稳序列，适合AR(1)，et=1et-1+at，即(1-1B)et=at(1)两边同乘(1-1B)得：(1-1B)(1-B12)Xt

=(1-1B)(1-12B12)et

=(1-12B12)at(Xt-Xt-12)-1(Xt-1-Xt-13)=at-12at-12第二十四页，共三十四页，编辑于2023年，星期四(1-B)(1-B12)Xt=(1-12B12)(1-B)et

=(1-12B12)(1-1B)at(Xt-Xt-12)–(Xt-1-Xt-13)=(at-12at-12)-1(at-1-12at-13)第二十五页，共三十四页，编辑于2023年，星期四一、季节自相关与季节偏自相关二、

乘积季节模型的建立第三节

季节时序模型的建立

第二十六页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

与ARMA模型类似，乘积季节模型的识别、定阶、参数估计、适应性检验基本上是以随机序列的样本自相关与偏自相关为依据的.一季节自相关与季节偏自相关第二十七页，共三十四页，编辑于2023年，星期四若序列无趋势，但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞12，24，36，……的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，8，12，……)，并且随着时滞的增加变得较小.若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，……等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12，……等处.第二十八页，共三十四页，编辑于2023年，星期四①判明序列的周期性；②识别季节差分的阶数；③识别差分的阶数；④对差分序列建立ARMA模型；⑤对原序列建立乘积季节模型.二乘积季节模型的建立第二十九页，共三十四页，编辑于2023年，星期四乘积季节模型建模要点①模型识别要点：

原始序列图是判定季节特征的有力工具；

周期的确定更倾向于依赖数据的实际背景；

若SACF与SPACF既不拖尾也不截尾，而且不呈线性衰减；而是在相应于周期的整数倍点上，出现绝对值相当大的峰值并呈现振荡变化，则可判定序列适合乘积季节模型.第三十页，共三十四页，编辑于2023年，星期四②阶数判定要点：

差分与季节差分阶数d、D的选取，可采用试探的方法，一般宜较低阶（如1、2、3阶）.对于某一组d、D，计算差分后序列的SACF与SPACF，若呈现较好的截尾或拖尾性，则d、D适宜.此时若增大d、D，相应SACF与SPACF会呈现离散增大及不稳定状态；

通常D不会超过1阶，特别对S=12的月份数据（B-J）；

SARIMA模型应慎重使用，特别序列长度不够理想时（B-J）.第三十一页，共三十四页，编辑于2023年，星期四

季节差分后序列ACF、PACF特征（1）若季节差分后序列适合MA模型:S=12Xt-Xt-12=(1-12B12)et=(1-1B)(1-12B12)at=at-1at-1-12at-12+112at-12-1季节差分后，适应MA(13)，其中i=0（i=2,3,…,11）,ACF截尾（k=1,11,12,13不为零，其余显著为零），PACF拖尾.第三十二页，共三十四页，编辑于2023年，星期四（2）季